Funktionsweise des Werkzeugs "Voronoi-Diagramm aus gewichteten Punkten generieren"
Mit Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.
Das Werkzeug Voronoi-Diagramm aus gewichteten Punkten generieren teilt den Raum in Einflussregionen rund um die Eingabepunkt-Standorte auf und weist jeder Position den Standort mit den niedrigsten Einflusskosten unter einem ausgewählten Voronoi-Typ zu. Dieses Werkzeug erweitert das klassische Voronoi-Diagramm aus ungewichteten Punkten (auch bekannt als Thiessen-Diagramm), indem es standortspezifische Gewichtungen, Zuordnungen höherer Ordnung und einen generalisierten Einflussausdruck einbezieht. Es ist so konzipiert, dass es Raster-Allokations-Workflows unterstützt und gleichzeitig eine Polygonrepräsentation für Vektor-Workflows bereitstellt.
Verwendungszwecke für Voronoi-Diagramme aus gewichteten Punkten
Eine Funktion für Voronoi-Diagramme aus gewichteten Punkten schließt eine funktionale Lücke zwischen traditionellen Thiessen-Polygonen und Werkzeugen für die Raster-Allokation. Thiessen-Polygone entsprechen eigentlich ungewichteten Voronoi-Regionen erster Ordnung und werden üblicherweise als Vektorkonstrukt behandelt. Die euklidische Zuordnung unterstützt die Raster-Allokation, ist jedoch nicht so strukturiert, dass sie mehrere gewichtete Voronoi-Formulierungen, benutzerdefinierte Einflussmodelle und Ausgaben höherer Ordnung so darstellt, dass sie transparent und wartungsfähig bleibt. Das Werkzeug Voronoi-Diagramm aus gewichteten Punkten generieren bietet eine dedizierte, erweiterbare Implementierung, die sowohl Raster- als auch Vektor-Workflows unterstützt.
Einflussfunktion und Zuordnung
Das Werkzeug berechnet den Einfluss jedes Standorts auf der umgebenden Ebene, indem es ungewichtete oder gewichtete Einflusswerte berechnet.
\(S\) sei die Menge der Eingabe-Standorte, wobei \(i = 1 \ldots N\) und jeder Standort die Geometrie \(s_i\) und die optionalen Attribute \(w_i\) (Gewichtung) und \(k_i\) (Koeffizient) besitzt.
Für jede Position \(x\) im Untersuchungsgebiet führt das Werkzeug die folgenden Aktionen aus:
Berechnet unter Verwendung der ausgewählten Entfernungsmethode und der ausgewählten Werte des Parameters Entfernungseinheit die Entfernung \(d(x, s_i)\).
Konvertiert diese Entfernung unter Verwendung des ausgewählten Wertes des Parameters Voronoi-Typ oder eines von Ihnen definierten benutzerdefinierten Ausdrucks in den Einflusswert \(F_i(x)\).
Ordnet die Position \(x\) dem Standort (oder den Standorten) zu, der den Einflusswert minimiert.
Nachfolgend werden einige Einflussgleichungen aufgeführt:
Ungewichtet (klassisches Voronoi-Diagramm): \(F_i(x) = d(x, s_i)\)
Gewichtet (Beispielform): \(F_i(x) = d(x, s_i) \times w_i\)
Benutzerdefiniert (Beispielform): \(F_i(x) = \dfrac{d(x, s_i)}{(\sqrt{w_i})^{k_i}} + e\)
Das Werkzeug vergleicht für jede Position die Einflusswerte aller Standortkandidaten und weist die Position dem Standort (oder den Standorten) mit dem niedrigsten Wert zu. Mit anderen Worten: Ein niedrigerer Einflusswert bedeutet einen stärkeren Einfluss und bestimmt die Voronoi-Zuweisung.
In Voronoi-Berechnungen erster Ordnung wird jede Position dem besten Standort zugewiesen. In Berechnungen höherer Ordnung wird jede Position ihrem \(k\)-ten nächstgelegenen Standort zugewiesen (oder je nach Kombination der Menge der ersten \(k\) nächstgelegenen Standorte).
Entfernungsberechnung
Die Ergebnisse der Entfernungsberechnung hängen von der Einstellung von zwei Parametern ab.
Der Parameter Entfernungsmethode bestimmt, wie \(d(x, s_i)\) gemessen wird.
Mit der Option Planar werden Entfernungen in einem projizierten Koordinatensystem mithilfe der planaren (kartesischen) Mathematik berechnet. Diese Methode ist für Analysen geeignet, bei denen die Krümmung der Erde im Kartenmaßstab ignoriert werden kann und die Daten in einem geeigneten projizierten Koordinatensystem liegen.
Mit der Option Geodätisch werden Entfernungen auf dem Ellipsoid unter Berücksichtigung der Krümmung der Erde berechnet. Diese Methode ist dann geeignet, wenn die Datasets in geographischen Koordinaten liegen oder große Ausdehnungen abdecken.
Der Parameter Entfernungseinheit definiert, wie die Einheit für die Berichterstellung und die interne Skalierung für Entfernungswerte angepasst werden soll. Er beeinflusst auch die numerische Magnitude von \(d\) in der Einflussfunktion. Die unterstützen Einheiten sind Zellen, Meter, Zentimeter, Kilometer, Zoll, Fuß, Yard und Meilen.
Wenn die Option Zellen verwendet wird, wird die Entfernung in Form der Anzahl der Raster-Zellen angegeben. Dies erfordert eine Ausgabe-Zellengröße, sodass eine Zelle einer bekannten Entfernung am Boden entspricht. Wenn dafür kein Wert angegeben wurde, wird anhand der Größe des Analysebereichs eine Standard-Zellengröße berechnet.
Voronoi-Typen
Die Beziehung zwischen Entfernung und Gewichtung wird durch den Wert des Parameters Voronoi-Typ definiert. Dieser Parameter definiert die Einflussfunktion \(F_i(x)\). Konzeptionell lassen sich alle Typen auf dieselbe Entscheidungsregel reduzieren, gemäß der eine Position dem Standort mit dem niedrigsten Einflusswert zugeordnet wird. Sie unterscheiden sich darin, wie Entfernung und Attribute kombiniert werden.
Ungewichtet
Die Formel lautet: \(Influence = d\)
Das Verhalten dieses Typs ist das Standardverhalten nach Thiessen. Der Einfluss wird ausschließlich durch geometrische Nähe bestimmt. Gewichtungen werden ignoriert. Die Grenzen sind gerade Linien in gleichen Abständen zwischen den Punkten.
Multiplikativ gewichtet
Die Formel lautet: \(Influence = d \times w\)
Das Verhalten dieses Typs entspricht dem eines Schwerkraftmodells. Dies ist für die Verwendung in Einzelhandels- und Marktanalysen geeignet. Höhere Gewichtungen verringern die Reibung der Entfernung und lassen die Einrichtung näher erscheinen. Eine Filiale mit dem Gewichtungswert 2 hat nur halb so viel Reichweite wie eine Filiale mit der Gewichtung 1. Die Grenzen sind in der Regel Kreisbögen.
Additiv gewichtet
Die Formel lautet: \(Influence = d - w\)
Das Verhalten dieses Typs entspricht dem eines Wachstumsmodells. Es wird für die physische Expansion oder die Versorgungskapazität genutzt. Die Gewichtung wirkt wie ein Vorsprung oder ein initialer Radius. Die Grenze wird durch die Differenz der Gewichtungen bestimmt. Die Grenzen sind hyperbolische oder gerade Linien.
Potenz-gewichtet
Die Formel lautet: \(Influence = d^2 - w^2\)
Das Verhalten dieses Typs folgt der Laguerre-Geometrie. Dies ist eine Variante der additiven Gewichtung, bei der quadratische Werte als Exponenten verwendet werden. Im Gegensatz zu multiplikativen oder additiven Typen, bei denen geschwungene Grenzen erstellt werden, erzeugen Potenzdiagramme Grenzen in Form gerader Linien.
Benutzerdefinierter Ausdruck
Dies ermöglicht die Verwendung einer benutzerdefinierten Formel. Das Verhalten definieren Sie anhand eines von Ihnen angegebenen Ausdrucks.
Einige Beispiele für benutzerdefinierte Ausdrücke sind:
Verwendung von \(d + (w \times k)\) zur Kombination von Entfernung, Gewichtung und Koeffizient in einem einzigen Ausdruck.
Verwendung von \(-\dfrac{w}{d^4}\) oder \(-\dfrac{w}{d^2}\) zur Auswahl des leistungsstärksten Radar- oder Antennensignals. Das negative Vorzeichen wird verwendet, um eine abnehmende Stärkefunktion umzukehren, sodass stärkere Signale kleinere Einflusswerte erzeugen, was der Regel der Zuordnung der niedrigsten Punktzahl des Werkzeugs entspricht.
Verwendung von \(\dfrac{d}{\sqrt{w} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{w}}} \times k}\) zur Modellierung des Zugangs zu Gesundheitseinrichtungen.
In benutzerdefinierten Ausdrücken können Sie auch Operatoren und Funktionen verwenden, um das Verhalten der Gewichtungen und Koeffizienten zu steuern und modifizieren. So können Funktionen und Konstanten, wie zum Beispiel \(\exp(\cdot)\), \(\log(\cdot)\), \(\operatorname{abs}(\cdot)\), \(\pi\) und die Eulersche Zahl \(e\) in Ausdrücken verwendet werden.
Beispielberechnungen
Angenommen, es gibt die zwei Standorte A und B und die eine Position \(p\). Die Entfernungen von \(p\) zu den Standorten lauten \(d_A = 1200\) Meter und \(d_B = 900\) Meter.
Voronoi-Diagramm mit ungewichteten Punkten
\(F_A = 1200\), \(F_B = 900\).
Daher wird Position \(p\) dem Standort B zugewiesen.
Voronoi-Diagramm mit additiv gewichteten Punkten
Angenommen, die Kapazität hat für Standort A den Wert \(w_A = 500\) und für Standort B den Wert \(w_B = 100\).
Folglich gilt:
\(F_A = 1200 - 500 = 700\)
\(F_B = 900 - 100 = 800\)
In diesem Fall hat A eine höhere Gewichtung und einen niedrigeren Einflusswert, obwohl B näher liegt. Daher wird Position \(p\) dem Standort A zugewiesen.
Voronoi-Diagramm mit multiplikativ gewichteten Punkten
Betrachten wir die gleichen Gewichtungen wie zuvor mit \(w_A = 500\) und \(w_B = 100\):
\(F_A = 1200 \times 500 = 600{,}000\)
\(F_B = 900 \times 100 = 90{,}000\)
Da hier Standort A einen höheren Einfluss auf den Standort hat, wird Position \(p\) dem Standort B zugewiesen.
Voronoi-Diagramm mit Potenz-gewichteten Punkten
Mit denselben Gewichtungen ergeben sich die folgenden Formeln:
\(F_A = (1200 \times 1200) - (500 \times 500) = 1{,}190{,}000\)
\(F_B = (900 \times 900) - (100 \times 100) = 800{,}000\)
In diesem Fall gewinnt Standort B.
Benutzerdefinierter Ausdruck
Betrachten wir einen benutzerdefinierten Ausdruck, bei dem:
\(F(d,w,k) = \dfrac{d^2}{\max(w,k)}\)
Wenn \(w_A = 2\) und \(w_B = 1\), und \(k = 1\), dann:
\(F_A = \dfrac{1200^2}{2} = 720{,}000\)
\(F_B = \dfrac{900^2}{1} = 810{,}000\)
In diesem Fall wird Standort A ausgewählt.
Funktionsweise von "Voronoi-Ordnung"
Der Parameter Voronoi-Ordnung definiert die Nachbarrangstufe, die für die Zuordnung verwendet werden soll. Der Wert 1 entspricht der klassischen Zuordnung. Das bedeutet, dass jede Position dem Standort mit dem größten Einfluss zugewiesen wird, also dem nächstgelegenen Standort entsprechend der ausgewählten Einflussfunktion. Bei dem Wert 2 wird jede Position dem Standort mit dem zweitgrößten Einfluss und bei dem Wert 3 dem Standort mit dem drittgrößten Einfluss zugewiesen. Werte größer als 1 können auf Szenarien wie Backup-Anlagenmodellierung und Redundanzplanung angewendet werden.
Konzeptionell berechnet das Werkzeug für jede Position die Einflusswerte \((F_i(x))\) aller Standorte, ordnet sie aufsteigend nach Rangstufe und wählt den Standort der \(k\)-ten Ordnung in der Rangfolge als Zuordnungsziel aus, wenn Ordnung = \(k\) gilt.
Entfernungseinstellungen, Voronoi-Typ und Voronoi-Ordnung
Durch Änderung des Parameters Entfernungsmethode wird die Berechnung der Entfernung verändert. Bei Auswahl der Option Planar wird das Werkzeug empfindlich gegenüber Auswahl und Maßstab der Projektion, während die Option Geodätisch es dem Werkzeug ermöglicht, Berechnungen durchzuführen, die auch in großen Ausdehnungen stabil sind. Bei Änderung des Parameters Entfernungseinheit werden die numerischen Entfernungswerte skaliert und damit gewichtete und benutzerdefinierte Ausdrücke, die Entfernungs- mit Attributtermen kombinieren, beeinflusst. Für eine interpretierbare Gewichtung ist die Verwendung konsistenter Einheiten unerlässlich. Durch Änderung des Parameters Voronoi-Typ wird verändert, wie Standortattribute mit der Entfernung konkurrieren. Mit der Erhöhung des Wertes des Parameters Voronoi-Ordnung verschiebt sich die Zuordnung zu weniger bevorzugten Standorten. Verwenden Sie den Parameter Voronoi-Kombination, um zu ändern, ob die Ausgabe nur diese Rangstufe oder eine Kumulation der Rangstufen bis zu dieser Rangstufe repräsentiert.
Potenzielle Anwendungsbereiche
Zu den potenziellen Anwendungsbereichen dieses Werkzeugs zählen:
Stadt- und Regionalplanung: Aufteilung der Einzugsgebiete basierend auf der Kapazität der Einrichtungen, etwa durch Zuweisen von Stadtteilen/Wohngebieten zu Schulen, Bibliotheken oder öffentlichen Dienstleistungszentren unter Berücksichtigung von Standortgröße oder Personal. Ausgaben höherer Ordnung unterstützen die Redundanzplanung für Überlaufszenarien.
Zugang zu Gesundheitsversorgung und Einzugsgebietsmodellierung: Zuordnen der Bevölkerung zu Kliniken oder Krankenhäusern, gewichtet nach Bettenanzahl, Anbieterkapazität oder Fachverfügbarkeit.
Notfallmanagement und Katastrophenhilfe: Zuweisen der Bereitstellungsbereiche und -ressourcen, wobei der Einfluss der Einrichtungen von Ausrüstung, Personal oder Einsatzbereitschaft abhängt. Zuordnungen zweiter oder dritter Ordnung stellen Backup-Einsatzstandorte dar, wenn primäre Standorte nicht verfügbar sind.
Einzelhandels- und Marktanalysen: Abgrenzen der Einzugsgebiete der Geschäfte, wobei Absatzvolumen oder Umsatz als Gewichtungen dienen, was Wettbewerbsanalyse, Markteinflussmodellierung und Gebietsplanung unterstützt. Größere Filialen üben eine größere Anziehung aus, als die Entfernung allein vorhersagt.
Umweltmanagement und Naturschutz: Zuordnen der Beobachtungseinflüsse für Sensornetzwerke oder Stichprobennahmestationen, wobei die Gewichtungen die Sensorempfindlichkeit bzw. Intensität der Stichprobennahme widerspiegeln. Dies verbessert die räumliche Aufteilung für die Gestaltung der Überwachung.
Zugänglichkeits- und Gerechtigkeitsanalyse: Erstellen von Zuordnungsoberflächen, die sowohl die Entfernung als auch die Kapazität einbeziehen und so Vergleiche zwischen nächstgelegener und effektiver Einrichtung ermöglichen (die nächstgelegene nach einem kapazitätsbereinigten Einflussmodell). Dies ist besonders für öffentliche Dienstleistungen und die Mobilitätsplanung relevant.
Zusätzliche Referenzen
Aurenhammer, F. (1987). Power diagrams: Properties, algorithms and applications. SIAM Journal on Computing, 16 (1), 78-96.
Aurenhammer, F., & Klein, R. (1996). Voronoi diagrams. FernUniversität, Fachbereich Informatik.
Boots, B. N. (1980). Weighting Thiessen polygons. Economic Geography, 56 (3), 248-259.
Lee, D. T., & Drysdale, R. L., III. (1981). Generalization of Voronoi diagrams in the plane. SIAM Journal on Computing, 10 (1), 73-87.
Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K., & Chiu, S. N. (2009). Spatial tessellations: Concepts and applications of Voronoi diagrams (2. Ausg.). Wiley.