Cómo funciona Generar Voronoi ponderado
Disponible con licencia de Spatial Analyst.
La herramienta Generar Voronoi ponderado divide el espacio en regiones de influencia alrededor de los sitios de los puntos de entrada, asignando cada ubicación al sitio con el coste de influencia más bajo según un tipo de Voronoi seleccionado. La herramienta amplía el diagrama de Voronoi clásico no ponderado (también conocido como diagrama de Thiessen) al incorporar ponderaciones específicas del sitio, asignación de orden superior y una expresión de influencia generalizada. Está diseñado para admitir flujos de trabajo de asignación de ráster y, al mismo tiempo, proporcionar una representación de polígonos para flujos de trabajo de vector.
Usos de Voronoi ponderado
Un recurso de Voronoi ponderado cubre una carencia funcional entre los polígonos de Thiessen tradicionales y las herramientas de asignación de ráster. Los polígonos de Thiessen son, en la práctica, regiones de Voronoi de primer orden no ponderadas y se suelen tratar como una construcción vectorial. La asignación euclidiana admite la asignación ráster, pero no está estructurada para representar varias formulaciones de Voronoi ponderadas, modelos de influencia personalizados ni resultados de orden superior de una manera que resulte transparente y mantenible. La herramienta Generar Voronoi ponderado proporciona una implementación dedicada y extensible que admite flujos de trabajo tanto de ráster como de vector.
Función de influencia y asignación
La herramienta calcula la influencia de cada sitio en el plano circundante mediante el cálculo de puntuaciones de influencia no ponderadas o ponderadas.
Sea \(S\) el conjunto de sitios de entrada, donde \(i = 1 \ldots N\), y cada sitio tiene geometría \(s_i\) y atributos opcionales \(w_i\) (ponderación) y \(k_i\) (coeficiente).
Para cualquier ubicación \(x\) en el espacio de estudio, la herramienta hace lo siguiente:
Calcula una distancia \(d(x, s_i)\) utilizando los valores de los parámetros Método de distancia y Unidad de distancia seleccionados.
Convierte esa distancia en una puntuación de influencia \(F_i(x)\) utilizando el valor del parámetro Tipo de Voronoi seleccionado o una Expresión personalizada que usted defina.
Asigna la ubicación \(x\) al sitio (o sitios) que minimiza la puntuación de influencia.
Entre las ecuaciones de influencia de ejemplo se incluyen las siguientes:
No ponderado (Voronoi clásico): \(F_i(x) = d(x, s_i)\)
Ponderado (forma de ejemplo): \(F_i(x) = d(x, s_i) \times w_i\)
Personalizado (forma de ejemplo): \(F_i(x) = \dfrac{d(x, s_i)}{(\sqrt{w_i})^{k_i}} + e\)
Para cada ubicación, la herramienta compara las puntuaciones de influencia de todos los sitios candidatos y asigna la ubicación al sitio (o conjunto de sitios) con la puntuación más baja. En otras palabras, una puntuación de influencia más baja significa una mayor influencia y determina la asignación de Voronoi.
En los cálculos de Voronoi de primer orden, cada ubicación se asigna al único sitio óptimo. En cálculos de orden superior, cada ubicación se asigna a su \(k\) sitio más cercano (o al conjunto de los primeros \(k\) sitios más cercanos, según la combinación).
Cálculo de la distancia
Los resultados del cálculo de la distancia dependen de la configuración de dos parámetros.
El valor del parámetro Método de distancia determina cómo se mide \(d(x, s_i)\).
La opción Planar calculará las distancias en un sistema de coordenadas proyectado utilizando matemáticas planas (cartesianas). Este método es apropiado para análisis en los que la curvatura de la Tierra puede ignorarse a la escala del mapa y en los que los datos están en un sistema de coordenadas proyectado adecuado.
La opción Geodésica calculará las distancias sobre el elipsoide, teniendo en cuenta la curvatura de la Tierra. Este método es apropiado si los datasets están en coordenadas geográficas o cubren grandes extensiones.
El valor del parámetro Unidad de distancia define cómo se ajustará la unidad de escala interna y de informes para los valores de distancia. También influye en la magnitud numérica de \(d\) en la función de influencia. Las unidades admitidas son celdas, metros, centímetros, kilómetros, pulgadas, pies, yardas y millas.
Cuando se utiliza la opción Celdas, la distancia se expresará en número de celdas ráster. Requiere un tamaño de celda de salida tal que una celda corresponda a una distancia conocida en el terreno. Si no se proporciona un valor I, se calculará un tamaño de celda predeterminado utilizando la extensión del área de análisis.
Tipos de Voronoi
La relación entre distancia y ponderación se define mediante el valor del parámetro Tipo de Voronoi. Este parámetro define la función de influencia \(F_i(x)\). Conceptualmente, todos los tipos se reducen a la misma regla de decisión, que consiste en asignar una ubicación al sitio con la puntuación de influencia más baja. Se diferencian en la forma en que se combinan la distancia y los atributos.
No ponderado
La fórmula es: \(Influence = d\)
El comportamiento de este tipo es Thiessen estándar. La influencia se determina únicamente por la proximidad geométrica. Se ignoran las ponderaciones. Los límites son líneas rectas equidistantes entre puntos.
Ponderación multiplicativa
La fórmula es: \(Influence = d \times w\)
El comportamiento de este tipo es el de un modelo de gravedad. Es apropiado utilizarlo para el análisis de minoristas y de mercados. Una mayor ponderación reduce la fricción de la distancia, haciendo que la instalación parezca más cercana. Una tienda con un valor de ponderación de 2 tiene la mitad del alcance que una tienda con una ponderación de 1. Los límites suelen ser arcos circulares.
Ponderación aditiva
La fórmula es: \(Influence = d - w\)
El comportamiento de este tipo es el de un modelo de crecimiento. Se utiliza para la expansión física o la capacidad de servicio. La ponderación actúa como ventaja o radio inicial. El límite se determina por la diferencia de ponderaciones. Los límites son líneas hiperbólicas o rectas.
Ponderación de potencia
La fórmula es: \(Influence = d^2 - w^2\)
El comportamiento de este tipo sigue la geometría de Laguerre. Es una variación de la ponderación aditiva que utiliza valores al cuadrado como exponentes. A diferencia de los tipos multiplicativos o aditivos, que crean límites curvos, los diagramas de potencia producen límites rectos.
Expresión personalizada
De esta forma, se puede utilizar una fórmula personalizada. Definirá el comportamiento en función de una expresión que proporcione.
Algunos ejemplos de expresiones personalizadas son:
Utilice \(d + (w \times k)\), que combina distancia, ponderación y coeficiente en una única expresión.
Utilice \(-\dfrac{w}{d^4}\) o \(-\dfrac{w}{d^2}\) para seleccionar la señal de radar o antena más potente. El signo negativo se utiliza para invertir una función de fuerza decreciente, de modo que las señales más fuertes produzcan puntuaciones de influencia más bajas, en correlación con la regla de asignación de puntuación más baja de la herramienta.
Utilice \(\dfrac{d}{\sqrt{w} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{w}}} \times k}\) para modelar el acceso a instalaciones sanitarias.
También es posible incluir operadores y funciones en expresiones personalizadas para controlar y modificar el comportamiento de las ponderaciones y coeficientes. Por ejemplo, las expresiones pueden usar funciones y constantes como \(\exp(\cdot)\), \(\log(\cdot)\), \(\operatorname{abs}(\cdot)\), \(\pi\) y el número de Euler \(e\).
Cálculos de ejemplo
Supongamos que hay dos sitios, A y B, y una ubicación \(p\). Las distancias desde \(p\) a los sitios son de \(d_A = 1200\) metros y \(d_B = 900\) metros.
Voronoi no ponderado
\(F_A = 1200\), \(F_B = 900\).
Por tanto, la ubicación \(p\) se asignará al sitio B.
Voronoi aditivo ponderado
Suponga que la capacidad del sitio A es \(w_A = 500\) y la del sitio B es \(w_B = 100\).
Por consiguiente,
\(F_A = 1200 - 500 = 700\)
\(F_B = 900 - 100 = 800\)
En este caso, aunque B está más cerca, A tiene una ponderación mayor y una puntuación de influencia menor. Por tanto, la ubicación \(p\) se asignará al sitio A.
Voronoi ponderado multiplicativo
Considere las mismas ponderaciones que antes, donde \(w_A = 500\) y \(w_B = 100\):
\(F_A = 1200 \times 500 = 600{,}000\)
\(F_B = 900 \times 100 = 90{,}000\)
Aquí, el sitio A tiene mayor influencia en el sitio y, por lo tanto, la ubicación \(p\) se asignará al sitio B.
Voronoi ponderado de potencia
Con las mismas ponderaciones, las fórmulas se convierten en:
\(F_A = (1200 \times 1200) - (500 \times 500) = 1{,}190{,}000\)
\(F_B = (900 \times 900) - (100 \times 100) = 800{,}000\)
En este caso, el sitio B resulta ganador.
Expresión personalizada
Considere una expresión personalizada donde:
\(F(d,w,k) = \dfrac{d^2}{\max(w,k)}\)
Si \(w_A = 2\) y \(w_B = 1\), y \(k = 1\), entonces:
\(F_A = \dfrac{1200^2}{2} = 720{,}000\)
\(F_B = \dfrac{900^2}{1} = 810{,}000\)
En este caso, se seleccionará el sitio A.
Cómo funciona Orden de Voronoi
El parámetro Orden de Voronoi define la clasificación de vecindarios que se utilizará para la asignación. Un valor de 1 corresponde a la asignación clásica. Esto significa que cada ubicación se asignará al sitio más influyente, que será el más cercano según la función de influencia seleccionada. Un valor de 2 asignará cada ubicación a su segundo sitio más influyente, y un valor de 3 a su tercer sitio más influyente. El uso de valores superiores a 1 puede aplicarse a escenarios como la modelización de instalaciones de respaldo y la planificación de la redundancia.
Conceptualmente, para cada ubicación, la herramienta calcula puntuaciones de influencia \((F_i(x))\) para todos los sitios, los clasifica en orden ascendente y selecciona el sitio en la posición \(k\) como destino de asignación cuando el orden = \(k\).
Configuración de distancia, tipo de Voronoi y orden
Al modificar el parámetro Método de distancia, se cambia la forma en que se calcula la distancia. Al seleccionar la opción Planar, la herramienta es sensible a la elección de la proyección y a la escala, mientras que la opción Geodésico permite que la herramienta realice cálculos estables en grandes extensiones. Al cambiar el parámetro de Unidad de distancia, se escalan los valores numéricos de la distancia y, por lo tanto, se ven afectadas las expresiones ponderadas y personalizadas que combinan la distancia con términos de atributo. El uso de unidades coherentes es esencial para una ponderación interpretable. Al modificar el parámetro Tipo de Voronoi, cambia la forma en que los atributos del sitio compiten con la distancia. Al aumentar el valor del parámetro Orden de Voronoi, la asignación se desplaza a sitios menos preferidos. Utilice el parámetro Combinación de Voronoi para cambiar si el resultado representa solo esa clasificación o un conjunto acumulado de clasificaciones hasta ella.
Potenciales aplicaciones
Algunas posibles aplicaciones de esta herramienta incluyen:
Planificación urbana y regional: divida las áreas de servicio en función de la capacidad de las instalaciones, por ejemplo, asignando vecindarios a centros educativos, bibliotecas o centros de servicios públicos, teniendo en cuenta el tamaño del sitio o la dotación de personal. Las salidas de orden superior permiten la planificación de la redundancia para escenarios de desbordamiento.
Acceso a la atención sanitaria y modelización de áreas de influencia: asigne la población a clínicas u hospitales, ponderando por recuento de camas, capacidad del proveedor o disponibilidad de especialidades.
Administración de emergencias y respuesta ante desastres: asigne áreas de preparación y recursos donde la influencia de la instalación dependa del equipo, el personal o la preparación. Las asignaciones de segundo o tercer orden representan sitios de respuesta de respaldo cuando los sitios primarios no están disponibles.
Análisis de comercio minorista y de mercado: delimite las áreas comerciales de las tiendas utilizando el volumen de ventas o los ingresos como ponderaciones, lo que respalda el análisis de la competencia, el modelado de la influencia en el mercado y la planificación territorial. Las tiendas más grandes ejercen una mayor atracción más allá de lo que predice únicamente la distancia.
Administración y conservación del medio ambiente: asigne la influencia de la observación a las redes de sensores o a las estaciones de muestreo, donde las ponderaciones reflejan la sensibilidad del sensor o la intensidad del muestreo. Esto mejora la partición espacial para el diseño de monitorización.
Análisis de accesibilidad y equidad: cree superficies de asignación que incorporen tanto la distancia como la capacidad, habilitando así las comparaciones entre la instalación más cercana y la instalación efectiva (la más cercana según un modelo de influencia ajustado por capacidad). Esto es particularmente relevante para los servicios públicos y la planificación de la movilidad.
Referencias adicionales
Aurenhammer, F. (1987). Power diagrams: Properties, algorithms and applications. SIAM Journal on Computing, 16 (1), 78-96.
Aurenhammer, F., & Klein, R. (1996). Voronoi diagrams. FernUniversität, Fachbereich Informatik.
Boots, B. N. (1980). Weighting Thiessen polygons. Economic Geography, 56 (3), 248-259.
Lee, D. T. & Drysdale, R. L., III. (1981). Generalization of Voronoi diagrams in the plane. SIAM Journal on Computing, 10 (1), 73-87.
Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K. y Chiu, S. N. (2009). Spatial tessellations: Concepts and applications of Voronoi diagrams (2.a ed.). Wiley.