Fonctionnement de l’outil Tendance

Disponible avec une licence 3D Analyst.

Disponible avec une licence Spatial Analyst.

L’outil Trend (Tendance) utilise une interpolation polynomiale globale qui ajuste une surface lisse définie par une fonction mathématique (un polynôme) aux points d’échantillonnage en entrée. La surface de tendance évolue graduellement et capture des structures à échelle grossière dans les données.

Arrière-plan conceptuel

Théoriquement, l’interpolation de tendance revient à prendre une feuille de papier et à la faire passer entre des points placés en hauteur (à la hauteur de la valeur). Cette méthode est illustrée dans le diagramme ci-dessous représentant un jeu de points d’échantillonnage d’élévation, relevés sur une colline légèrement inclinée. La feuille de papier est rouge magenta.

Surface de tendance plate — Illustration d’une surface de tendance plate

Une feuille de papier plate ne capturera pas un paysage contenant une vallée de manière exacte. Cependant, si vous la courbez une fois, vous obtenez un meilleur ajustement. L’ajout d’un terme à la formule mathématique produit un résultat similaire : une courbure dans le plan. Une surface plane (pas de courbure sur la feuille de papier) est un polynôme de premier degré (linéaire). Si vous la courbez une fois, vous obtiendrez un polynôme de deuxième degré (quadratique) et un polynôme de troisième degré (cubique), si vous la courbez deux fois, et ainsi de suite. Vous pouvez procéder à douze courbures maximum avec cet outil. L’image suivante présente, en théorie, un polynôme de deuxième degré ajusté à une vallée.

Surface de tendance courbée — Illustration d’une surface de tendance courbée

Il y a très peu de chances que la feuille de papier passe par les points mesurés réels, ce qui rend l’interpolation de tendance inexacte. Certains points seront situés au-dessus de la feuille de papier, d’autres en dessous. Toutefois, si vous additionnez la proportion dans laquelle chaque point se situe au-dessus de la feuille de papier et en dessous de la feuille, les sommes devraient être similaires. La surface, en magenta, est obtenue à l’aide de l’ajustement régressif par moindres carrés. La surface obtenue minimise les différences au carré entre les valeurs élevées au carré et la feuille de papier.

Plus l’erreur quadratique moyenne (EQM) est basse, plus la surface interpolée représente les points en entrée avec exactitude. Les degrés polynomiaux les plus courants sont le premier, le deuxième et le troisième. L’interpolation de surface de tendance crée des surfaces lisses.

Cas dans lesquels utiliser l’interpolation de tendance

L’interpolation de tendance génère une surface lisse qui représente les tendances graduelles de la surface, sur la zone d’intérêt. Ce type d’interpolation peut être utilisé pour :

L’ajustement d’une surface aux points d’échantillonnage lorsque la surface varie graduellement de région en région, sur la zone d’intérêt, par exemple, la pollution d’une zone industrielle.
L’analyse ou la suppression des effets des tendances à long terme ou globales. Dans de telles circonstances, la technique est souvent désignée sous le nom "d’analyse de surface de tendance".

L’interpolation de tendance crée une surface qui évolue graduellement, à l’aide de polynômes de premier degré qui décrivent un processus physique, par exemple, la pollution et la direction du vent. Cependant, plus le polynôme est complexe, plus il est difficile d’en interpréter les résultats physiques. De plus, les surfaces calculées sont extrêmement vulnérables aux points aberrants (valeurs extrêmement élevées ou extrêmement basses), en particulier sur les tronçons.

Types d’interpolation de tendance

Il existe deux types de base d’interpolation de tendance : linéaire et logistique.

Tendance linéaire

L’interpolateur de surface de tendance Linear (Linéaire) crée un raster à virgule flottante. Il utilise une régression polynomiale pour ajuster une surface par moindres carrés aux points en entrée. Cette méthode vous permet de contrôler l’ordre du polynôme utilisé pour ajuster la surface. Pour comprendre cette méthode, considérez une transformation polynomiale de premier ordre. Une interpolation de surface de tendance linéaire de premier ordre procède à l’ajustement des moindres carrés d’un plan avec l’ensemble des points en entrée.

L’interpolation de surface de tendance crée des surfaces lisses. La surface générée traverse rarement les points de données d’origine, puisqu’elle réalise un ajustement optimal pour l’intégralité de la surface. Si un polynôme d’ordre supérieur à un est utilisé, l’interpolateur peut générer un raster dont le minimum et le maximum dépassent le minimum et le maximum du fichier en entrée des données d’entités en entrée.

Tendance logistique

L’option Logistic (Logistique) de génération d’une surface de tendance est appropriée pour prévoir la présence ou l’absence de certains phénomènes (sous forme de probabilité) pour un ensemble donné de localisations (x, y) dans l’espace. La valeur z est une variable aléatoire catégorisée avec uniquement deux résultats possibles : par exemple, l’existence d’une espèce en danger ou l’absence de cette espèce. Ces deux valeurs z peuvent être respectivement codées un et zéro. Cette option crée une grille de probabilité continue avec les valeurs de cellule comprises entre un et zéro.

Une estimation de la probabilité maximale permet de calculer le modèle de surface de probabilité non linéaire sans devoir d’abord convertir le modèle sous forme linéaire.

Fichier EQM en sortie

Le fichier d’erreur EQM spécifie l’erreur quadratique moyenne de l’interpolation en comparant la valeur des localisations dans le jeu de données en entrée avec la valeur de ces mêmes localisations dans la surface raster interpolée.

La valeur d’erreur QM permet de déterminer la meilleure valeur à utiliser pour le paramètre de l’interpolation en modifiant la valeur d’ordre jusqu’à ce que vous obteniez l’erreur QM la plus basse. La valeur khi deux est également indiquée.

Exemple

Voici un exemple de fichier EQM en sortie après l’exécution de l’outil Tendance avec le paramètre Polynomial order (Ordre polynomial) défini sur 3 :

coef #  coef
------  ----------------
0       -1192066.7888371
1       -1.78479492586755
2       -0.195982103615487
3       -8.87072249743903e-1
4       -2.0538267625596e-1
5       -3.85610088343239e-1
6       -1.46420255709888e-2
7       -5.31539027745154e-2
8       -2.59261094879031e-3
9        9.71651459136166e-4
------  ----------------
RMS Error = 296.957857221845
Chi-Square = 17019506.0103975

La valeur prévue à n’importe quelle localisation du raster en sortie pour cette tendance de troisième ordre peut être déterminée en additionnant les valeurs obtenues par une série d’équations. Pour ces équations, \(x\) équivaut à la longitude de la localisation, \(y\) à la latitude et le terme \(c_n\) est la valeur du coefficient issue de la table précédente. Les équations de cette interpolation de troisième ordre sont :

\[ \begin{align*} Prediction(x,y) &= {c_0 + (x \cdot c_1) + (y \cdot c_2) + (x^2 \cdot c_3) \space +} \ & \quad \space {(x \cdot y \cdot c_4) + (y^2 \cdot c_5) + (x^3 \cdot c_6) \space + } \ & \quad \space {(x^2 \cdot y \cdot c_7) + (x \cdot y^2 \cdot c_8) + (y^3 \cdot c_9)} \end{align*} \]

Le coefficient 0 est toujours l’intersection. Ensuite, itérons les termes de premier ordre en commençant par la valeur \(x\) la plus élevée et en terminant sans \(x\). Passons ensuite aux termes de deuxième ordre et itérons de nouveau les \(x\) vers le bas, comme pour les termes de troisième ordre.

Remarque :

Ces équations suivent un modèle similaire avec l’augmentation de l’ordre. Par exemple, si le quatrième ordre est spécifié, cinq valeurs supplémentaires sont indiquées dans la table EQM (coefficients 10, 11, 12, 13 et 14), ce qui entraîne un nombre supérieur d’équations les utilisant.