Fonctionnement de l’outil Multicriteria Overlay (Superposition multicritère)

L’outil Multicriteria Overlay (Superposition multicritère) combine plusieurs rasters en entrée en un même raster en sortie à l’aide de diverses méthodes de superposition MCDA (Analyse de décision multicritère). L’analyse MCDA est une approche structurée utilisée dans les tâches de prise de décision spatiale, telles que la sélection de sites, la modélisation de l’adéquation, la cartographie des risques et la priorisation des zones de planification.

Cette méthode comporte deux étapes principales. La première consiste à convertir tous les critères en une échelle commune. La seconde consiste à pondérer et combiner les critères convertis pour générer une sortie.

Cet outil effectue la deuxième étape, qui consiste à appliquer une méthode de superposition correspondant à vos objectifs d’analyse.

Considérations principales

Voici les principales considérations à prendre en compte lors d’une analyse de superposition multicritère :

• Préparer et convertir les rasters en entrée

• Choisir une méthode de superposition

• Attribuer des pondérations aux rasters en entrée

Vous trouverez ci-après davantage de détails sur ces considérations. Suivent des sections supplémentaires décrivant les calculs mathématiques et les applications potentielles de chaque méthode.

Préparer et convertir les rasters en entrée

Choisissez des rasters en entrée directement liés au problème multicritère et pouvant être quantifiés. Chaque raster doit mesurer un critère unique. Les jeux de données raster variant souvent en unités, plages de valeurs, et fait que des valeurs plus élevées ou plus basses indiquent une plus grande adéquation, les rasters doivent d’abord être convertis en une échelle commune pour pouvoir être combinés. Convertir les rasters permet de garantir qu’aucun critère unique n’influence de manière disproportionnée les résultats et que les valeurs d’adéquation sont interprétées de manière cohérente.

Prenons comme exemple une analyse d’adéquation de l’habitat. Pour recueillir les besoins alimentaires d’un animal, vous pouvez utiliser un raster du type de couverture terrestre et un raster qui enregistre la proximité des cours d’eau. Pour assurer la sécurité, un raster qui enregistre la distance par rapport aux bâtiments et un raster de pente peuvent permettre d’identifier les zones à faible risque de contact humain. Utilisez l’outil Reclassify (Reclassification) pour attribuer des valeurs d’adéquation aux différents types d’utilisation du sol en fonction des préférences d’habitat de l’animal étudié. Pour les rasters qui représentent des critères continus, utilisez l’outil Rescale by Function (Redimensionner par fonction) afin de les convertir sur une échelle d’adéquation commune.

Choisir une méthode de superposition

Il existe de nombreuses méthodes de superposition différentes, chacune ayant des forces et exigences différentes. Étudiez chacune des méthodes de superposition, puis sélectionnez celle qui correspond le mieux à vos objectifs analytiques et au comportement que vous souhaitez modéliser.

Attribuer des pondérations aux rasters en entrée

Des pondérations doivent être attribuées en fonction de l’importance relative de chaque entrée pour atteindre les objectifs analytiques.

Ces pondérations peuvent être basées sur la consultation d’experts ou dérivées d’analyses statistiques. Les résultats de l’analyse pouvant être fortement influencés par le processus de pondération, il est important de s’assurer que les pondérations sont justifiées.

Weighted sum (Somme pondérée)

Utilisez l’option Weighted sum (Somme pondérée) du paramètre Overlay Method (Méthode de superposition) si les compromis entre les rasters en entrée sont acceptables. Une valeur élevée dans un raster peut compenser une valeur faible dans un autre, pour générer un résultat qui représente les performances globales combinées ou l’adéquation selon tous les critères en entrée.

Formula (Formule)

Pour cette méthode, les valeurs des cellules de chaque raster en entrée sont multipliées par leur pondération correspondante. Les résultats sont additionnés pour créer le raster en sortie.

Exprimée sous forme de formule, la valeur en sortie de chaque emplacement est calculée comme suit :

\(OutRas = (Ras1 \times Weight1) + (Ras2 \times Weight2) + \ldots + (RasN \times WeightN)\)

Exemple

L’illustration ci-après montre le résultat de l’application de la formule à deux exemples de raster en entrée avec un facteur de pondération différent appliqué. Ces entrées sont utilisées dans les exemples de toutes les autres méthodes.

Exemple de la méthode Weighted sum (Somme pondérée)

Soit la cellule en haut à gauche. Pour InRas1, la valeur de cellule de l’emplacement est de 1. La multiplier par la pondération de 1,5 donne une valeur de 1,5. Pour InRas2, la valeur de cellule de l’emplacement étant de 6,5, en la multipliant par la pondération de 2, nous obtenons 13.

Ajouter les valeurs 1,5 et 13 génère une valeur de cellule en sortie de 14,5 pour cet emplacement.

Applications possibles

Voici quelques applications de cette méthode :

• Identification d’un site de parc éolien : dans un projet de sélection d’un site de parc éolien, cette méthode permet d’agréger plusieurs critères dans une même carte d’adéquation. Elle permet de déterminer dans quelle mesure des ressources éoliennes excellentes peuvent compenser certaines conditions, comme une pente modérée, en fonction de l’importance qui leur est attribuée.

• Planification de l’implantation viticole : en planification de l’implantation des vignobles, la méthode de la somme pondérée permet de combiner les conditions climatiques naturelles, les facteurs liés aux coûts et les propriétés du sol en un score d’adéquation final. Un climat élevé et une adéquation des sols peuvent compenser des conditions de coûts moins favorables compte tenu des profits à long terme.

Weighted geometric mean (Moyenne géométrique pondérée)

Utilisez l’option Weighted geometric mean (Moyenne géométrique pondérée) du paramètre Overlay method (Méthode de superposition) pour les analyses où tous les rasters en entrée possèdent des valeurs relativement élevées.

Le calcul étant basé sur la multiplication, une faible valeur dans un raster en entrée réduit proportionnellement l’adéquation finale et ne peut pas être compensée par des valeurs plus élevées dans d’autres rasters. Elle est souvent choisie pour maintenir l’influence des faibles valeurs comme facteur limitant, tout en intégrant les contributions des autres entrées. La nature exponentielle des pondérations permet de contrôler l’impact des valeurs faibles sur le résultat.

Formule

Pour cette méthode, pour chaque emplacement, les valeurs des cellules de chaque raster en entrée sont augmentées à la puissance de leur pondération correspondante. Les résultats sont multipliés, puis le produit est élevé à la puissance de la somme de toutes les pondérations.

Exprimée sous forme de formules, la somme de toutes les pondérations est d’abord calculée :

\(Weights_sum = Weight1 + Weight2 + \ldots + WeightN\)

Ensuite, les valeurs des cellules en entrée sont toutes augmentées à la puissance de leur pondération associée et le produit de ces valeurs est calculé :

\(Values_product = Ras1^{Weight1} \times Ras2^{Weight2} \times \ldots \times RasN^{WeightN}\)

La valeur finale en sortie de chaque emplacement est calculée en élevant le produit des valeurs pondérées à la somme inverse de toutes les pondérations.

\(OutRas = Values_product^{(1 / Weights_sum)}\)

Exemple

L’illustration ci-après montre le résultat de l’application de cette formule aux entrées et pondérations utilisées dans la méthode de la somme pondérée.

Exemple de la méthode Weighted geometric mean (Moyenne géométrique pondérée)

Pour InRas1, la cellule supérieure gauche de valeur 1 est élevée à la puissance de la pondération. Le résultat de 1^1,5 est égal à 1.

Pour InRas2, avec la pondération, la valeur de cellule en entrée de 6,5 est élevée à la puissance de 2, ce qui donne une valeur de 42,25.

Le produit de 1 et 42,25 est de 42,25. La somme de toutes les pondérations est 1,5 + 2 = 3,5.

La sortie finale pour cet emplacement est de 42,25 ^(1/3,5) ≈ 2,91

Applications possibles

Voici quelques applications de cette méthode :

• Indice d’adéquation de l’habitat : en modélisation de l’habitat, plusieurs critères (tels que la qualité de l’eau, la température et la disponibilité de la lumière) sont combinés à l’aide d’une moyenne géométrique pondérée, de sorte qu’un site ne peut pas obtenir un score élevé à moins que toutes les conditions essentielles de l’habitat ne soient favorables.

• Évaluation de l’adéquation des sites d’aquaculture et estimation du rendement : dans l’évaluation des sites agricoles, plusieurs critères de qualité environnementale sont agrégés avec une moyenne géométrique pondérée, de sorte que l’adéquation globale chute fortement si une condition environnementale essentielle est médiocre.

Maximum

Utilisez l’option Maximum du paramètre Overlay Method (Méthode de Superposition) si les rasters en entrée sont substituables et que vous souhaitez que le résultat reflète l’avantage le plus fort ou la valeur la plus élevée à chaque cellule plutôt que l’équilibre global. Une cellule reçoit une valeur en sortie élevée si au moins l’une des valeurs pondérées en entrée possède une valeur élevée, même si les autres valeurs pondérées en entrée sont faibles.

Formule

Pour chaque cellule en entrée, l’outil attribue la plus grande valeur parmi les rasters en entrée pondérés à cet emplacement.

Formule de calcul du maximum des valeurs en entrée pondérées pour chaque emplacement :

\(OutRas = Maximum{(Ras1 \times Weight1), (Ras2 \times Weight2), \ldots, (RasN \times WeightN)}\)

Exemple

Résultat de l’application de cette formule aux mêmes entrées et pondérations :

Exemple de la méthode Maximum

Pour InRas1, la cellule supérieure gauche de valeur 1 est multipliée par la pondération de 1,5, ce qui donne une valeur de 1,5. Pour InRas2, la valeur de cellule de 6,5 est multipliée par la pondération de 2, ce qui donne 13.

Cette méthode restitue la plus grande des deux valeurs pondérées. La valeur en sortie est donc 13.

Applications possibles

Voici quelques applications de cette méthode :

• Exploration minérale : en cartographie prospective du cobalt, plusieurs critères sont combinés à l’aide de la méthode de superposition Maximum afin qu’une cellule soit mise en évidence si un indicateur favorise fortement le potentiel minéral.

• Cartographie de la couverture sans fil : dans la planification des réseaux radio, les rasters de puissance du signal provenant de plusieurs stations de base sont combinés à l’aide de la méthode de superposition Maximum afin que chaque cellule représente la couverture la plus forte disponible à cet emplacement.

Minimum

Utilisez l’option Minimum du paramètre Overlay Method (Méthode de Superposition) si vous souhaitez que le résultat reflète le facteur le plus limitant à chaque cellule. Une cellule reçoit la valeur la plus basse des rasters pondérés en entrée, même si les autres entrées pondérées ont des valeurs élevées.

Formule

Pour chaque cellule en entrée, l’outil attribue la plus petite valeur parmi les rasters en entrée pondérés à cet emplacement.

Formule de calcul du minimum des valeurs en entrée pondérées pour chaque emplacement :

\(OutRas = Minimum{(Ras1 \times Weight1), (Ras2 \times Weight2), \ldots, (RasN \times WeightN)}\)

Exemple

Résultat de l’application de cette formule aux mêmes entrées et pondérations :

Exemple de la méthode Minimum

La valeur de la cellule en haut à gauche d’InRas1 est de 1. En la multipliant par la pondération de 1,5, cela donne une valeur de 1,5. Pour InRas2, la valeur de cellule de 6,5 est multipliée par la pondération de 2, ce qui donne 13.

Cette méthode restitue la plus petite des deux valeurs pondérées. La valeur en sortie est donc 1,5.

Applications possibles

Voici quelques applications de cette méthode :

• Adéquation de l’habitat : en modélisation de l’habitat, la disponibilité de la nourriture et de l’eau, le type d’utilisation du sol et les perturbations humaines sont tous considérés comme des facteurs limitants clés. Ils sont combinés à l’aide de la méthode de superposition Minimum, de sorte qu’une cellule est évaluée comme faible si les conditions essentielles de l’habitat sont médiocres.

• Planification de l’implantation de parcs solaires avec plusieurs sous-modèles : trois cartes d’adéquation de sous-modèles sont créées pour l’adéquation des ressources solaires, l’accessibilité et l’impact environnemental. La ressource solaire étant considérée comme un facteur limitant, la méthode Minimum est utilisée pour déterminer l’adéquation finale et garantir que les emplacements à faible potentiel solaire conservent une adéquation faible, même si les autres conditions sont favorables.

Weighted Overlay (Superposition pondérée)

Utilisez l’option Weighted Overlay (Superposition pondérée) du paramètre Overlay Method (Méthode de superposition) si vous voulez que chaque critère contribue au résultat en pourcentage du résultat final. Les valeurs des pondérations de cette option doivent être spécifiées en pourcentage et totaliser 100. Chaque valeur spécifiée pour la valeur de paramètre Percent (Pourcentage) indique la force de l’influence de chaque critère sur la sortie finale par rapport aux autres critères.

Le résultat combiné est ensuite redimensionné sur une plage d’évaluation définie par les paramètres From Scale (Échelle d’origine) et To Scale (Échelle de destination)(par exemple, 0 et 1 ou 1 et 10). Cela garantit que les valeurs raster en sortie restent dans une plage cohérente, pour faciliter la comparaison directe des résultats générés à partir de différents critères en entrée ou valeurs de pondération.

Formule

Pour chaque emplacement, les valeurs de cellule correspondantes dans chaque raster en entrée sont multipliées par la valeur fournie pour l’option Percent (Pourcentage). Toutes les valeurs pondérées sont additionnées. Ce résultat est ensuite mis à l’échelle à la plage en sortie définie.

1. La valeur en sortie de chaque emplacement est calculée comme suit :

   \(CombinedValue = (Ras1 \times Percent1) + (Ras2 \times Percent2) + \ldots + (RasN \times PercentN)\)

2. La sortie additionnée pondérée est ensuite redimensionnée à l’aide de la formule ci-dessous :

   \(OutRas = {FromScale} + ({CombinedValue} - {CombinedValue}_{\min}) \cdot \large \frac {ToScale - FromScale}{CombinedValue_{\max} - CombinedValue_{\min}}\)

Exemple

Vous trouverez le résultat de l’application de cette formule ci-après. L’échelle en sortie choisie pour cet exemple est de 1 à 10.

Exemple de la méthode Weighted overlay (Superposition pondérée)

Pour InRas1, la cellule en haut à gauche de valeur 1 multipliée par le pourcentage décimal 0,428 donne 0,428. Pour InRas2, la valeur de la cellule de 6,5 multipliée par le pourcentage décimal 0,572 donne 3,718.

La somme de ces deux valeurs est de 4,146.

L’outil effectue ensuite ces calculs pour les neuf emplacements en entrée. La valeur minimale résultante est de 3,197 et la valeur maximale, de 7,112.

En appliquant ces valeurs à la formule, nous obtenons la valeur finale en sortie suivante pour cet emplacement :

\(\begin{aligned}OutRas &= 1 + (4.146 - 3.1972) \cdot \frac{10 - 1}{7.1124 - 3.1972} \ &= 3.2\end{aligned}\)

Applications possibles

Cette méthode utilisant une combinaison additive, ses applications sont similaires à celles de la somme pondérée, mais les pondérations sont exprimées en pourcentages et les valeurs finales restent dans la plage spécifiée.

Ordered weighted averaging (Moyenne pondérée ordonnée)

Utilisez l’option Ordered weighted averaging (Moyenne pondérée ordonnée) du paramètre Weighted Overlay (Superposition pondérée) si vous souhaitez mettre l’accent sur le critère de valeur élevée par rapport au critère de faible valeur ou que vous souhaitez explorer la sensibilité des résultats aux différents niveaux de compromis et de compensation

Contrairement aux méthodes qui appliquent des pondérations fixes à des positions de critères fixes, la moyenne pondérée ordonnée (OWA) trie d’abord les valeurs pondérées des critères de chaque cellule de la plus élevée à la plus faible. Elle applique ensuite un ensemble distinct de pondérations de classement aux valeurs classées qui contrôlent l’influence du critère le meilleur, moyen ou le pire.

En modifiant les pondérations de classement, vous pouvez faire passer le résultat d’un comportement de type minimum (où les faibles valeurs des critères limitent fortement la sortie) à un comportement de type maximum (où les valeurs élevées des critères ont le plus d’influence). Utilisez la possibilité de personnaliser les valeurs des pondérations de classement pour contrôler comment les valeurs élevées peuvent compenser les faibles valeurs selon les critères.

L’utilisation de certaines valeurs pour les pondérations peut approximer les résultats des différentes méthodes de superposition.

• Si vous attribuez une pondération de classement de 1 au critère pondéré le plus élevé et de 0 à tous les autres, la méthode OWA se comporte comme la méthode Maximum.

• Si vous attribuez une pondération de classement de 1 au critère pondéré le plus faible et de 0 à tous les autres, la méthode OWA se comporte comme la méthode Minimum.

• Si vous attribuez des pondérations de classement égal à toutes les valeurs classées, la méthode OWA se comporte comme une méthode Weighted sum (Somme pondérée), où les critères contribuent uniformément au résultat.

Le pondérations de classement peuvent être spécifiées de deux manières. Si la valeur du paramètre Order Weights Method (Méthode des pondérations de classement) est définie sur l’option Custom (Personnalisée), vous pouvez saisir les pondérations. Sélectionnez l’option Quantifier-guided (Guidé par quantificateur) pour les déduire automatiquement.

Pour l’option Quantifier-guided (Guidé par quantificateur), une valeur Orness est utilisée pour contrôler la forme des pondérations de classement. Orness décrit à quel point la superposition est optimiste. Les valeurs plus élevées influencent davantage la valeur raster en entrée pondérée de classement le plus élevé. Il en découle un comportement similaire à celui de l’option Maximum du paramètre Overlay method (Méthode de superposition). Les valeurs plus basses influencent davantage la valeur raster en entrée pondérée de classement le plus bas. Il en découle un comportement similaire à celui de l’option Minimum du paramètre Overlay method (Méthode de superposition).

Formule

Pour chaque raster en entrée, multipliez chaque valeur de cellule par la valeur de la pondération définie pour cette entrée. Ensuite, pour chaque emplacement de cellule, classez les valeurs pondérées de la plus élevée à la plus faible. Multipliez les pondérations de classement en fonction des valeurs triées, puis additionnez-les pour obtenir la valeur finale en sortie de cette cellule.

1. Calculez d’abord la valeur en entrée pondérée pour chaque emplacement en entrée.

   \(WeightedInput1 = Ras1 \times Weight1\)

   \(WeightedInput2 = Ras2 \times Weight2\)

   \(\ldots\)

   \(WeightedInputN = RasN \times WeightN\)

2. Les valeurs pondérées sont ensuite classées de la plus élevée à la plus basse.

   \(Ranked_values = {Rank1(WeightedInput1), Rank2(WeightedInput2), \ldots, RankN(WeightedInputN)}\)

3. Une liste des valeurs de pondération de classement est fournie en entrée ou générée par l’outil.

   \(List\ of\ weight\ values = {RankWeight1, RankWeight2, \ldots, RankWeightN}\)

4. Les valeurs des pondérations de classement sont multipliées par les valeurs pondérées classées, puis additionnées pour obtenir la valeur de cet emplacement de cellule dans le raster final en sortie.

   \[ \begin{array}{l} OutRas = (RankWeight1 \times Rank1(WeightedInput1)) + (RankWeight2 \times Rank2(WeightedInput2)) \ \phantom{OutRas = {}} + \ldots + (RankWeightN \times RankN(WeightedInputN)) \end{array} $$ \]

Exemple

En appliquant cette méthode aux exemples d’entrées, vous obtenez la sortie ci-après.

Exemple de la méthode Ordered weighted averaging (Moyenne pondérée ordonnée)

Pour InRas1, la valeur de l’emplacement de la cellule en haut à gauche est multipliée par la pondération et le résultat est 1 x 1,5, soit 1,5. Pour InRas2, le résultat est 6,5 x 2, soit 13.

Les valeurs pondérées pour cet emplacement, classées de la plus élevée à la plus basse, sont 13 et 1,5.

Les pondérations de classement fournies 0,8 et 0,2 sont appliquées aux valeurs classées. Pour InRas2, le résultat est 13 x 0,8 = 10,4. Pour InRas1, le résultat est 1,5 x 0,2 = 0,3.

La somme de ces deux valeurs est 10,4 + 0,3 = 10,7.

Applications possibles

Voici quelques applications de cette méthode :

• Planification agricole intégrée : en appliquant différentes combinaisons de pondérations de classement, vous pouvez comparer une carte d’adéquation en sortie qui :

  • Applique des critères stricts de limitation pour une production fiable à long terme.

  • Met en évidence des opportunités à fort potentiel d’expansion à court terme.

  • Révèle des stratégies équilibrées qui mettent l’accent sur des zones modérément adaptées, en évitant les valeurs extrêmes, ce qui peut être utile pour une planification averse au risque.

• Cartographie de la susceptibilité aux glissements de terrain : vous pouvez ajuster les pondérations de clasement pour contrôler le compromis accordé entre les facteurs de glissement de terrain, tels que la pente, les précipitations, la géologie et l’occupation du sol.

  Cela permet de comparer des cartes d’adéquation qui :

  • appliquent une règle de facteur limitant stricte avec peu ou pas de compromis ;

  • utilisent une règle plus permissive où des facteurs forts peuvent avoir une plus grande influence ;

  • testent des stratégies intermédiaires qui permettent une compensation partielle entre les critères.

Solution du point idéal (TOPSIS)

Utilisez l’option Ideal point solution (TOPSIS) (Solution du point idéal [TOPSIS]) du paramètre Overlay Method (Méthode de superposition) si vous souhaitez une solution de compromis équilibré. Cette option identifie les emplacements qui favorisent simultanément la proximité avec des conditions souhaitables et l’éloignement avec des conditions indésirables. Contrairement aux autres méthodes, cette méthode peut optimiser plusieurs facteurs.

Un point idéal positif (le plus préféré) et un point idéal négatif (le moins préféré) doivent être fournis pour chaque raster en entrée.

• Il ne s’agit pas forcément du minimum et du maximum du raster en entrée. Par exemple, si un raster d’exposition est une entrée et que les pentes orientées au sud sont préférées, vous pouvez fixer 180 comme valeur idéale positive et 0 comme valeur idéale négative.

• Elles n’ont pas besoin de se trouver dans les plages de valeurs raster en entrée. Par exemple, si vous créez un indice de qualité de l’air, un critère important est la concentration en PM2,5 (plus elle est faible, mieux c’est). Dans votre jeu de données, la plage des quartiers de la ville commence à 18 μg/m³. Si vous utilisez la directive de l’OMS de 5 μg/m³ comme valeur idéale, ce point idéal est inférieur au minimum de la plage de rasters en entrée. TOPSIS peut toujours l’utiliser comme référence pour mesurer à quel point chaque quartier est proche de la valeur idéale, même si aucun emplacement de la ville ne satisfait actuellement cette norme.

Formule

Pour l’algorithme TOPSIS, un point idéal positif (préféré le plus élevé) et un point idéal négatif (référence la plus basse) pour chaque raster en entrée sont identifiés dans les unités du raster en entrée. Chaque raster en entrée est d’abord normalisé en divisant chaque valeur de cellule par la racine carrée de la somme des valeurs au carré dans ce raster, de sorte à placer tous les rasters sur une échelle cohérente. Le raster normalisé est alors multiplié par sa pondération affectée. La distance entre chaque cellule et la solution idéale positive et la solution idéale négative est ensuite calculée. La sortie finale est déterminée par le coefficient de proximité relative, calculé à partir de la distance entre chaque cellule et les solutions idéales positive et négative. En général, les valeurs supérieures représentent les cellules préférées car elles sont relativement plus proches de la solution idéale positive et relativement plus éloignées de la solution idéale négative.

1. Chaque raster en entrée et les valeurs des points idéaux sont normalisés à l’aide de la formule ci-après afin de rendre les valeurs des différents rasters comparables.

   \(\large r_{ij} = \large \frac {\large x_{ij}}{\large \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2}}\)

   • où :

     \(x_{ij}\) est la valeur de la cellule \(i\) du raster en entrée \(j\). Elle représente également les valeurs ponctuelles idéales pour ce raster en entrée \(j\).

     \(n\) représente le nombre de cellules valides dans l’étendue d’analyse.

     \(r_{ij}\) est la valeur normalisée de la cellule \(i\) du raster en entrée \(j\).

2. À chaque cellule, TOPSIS calcule ensuite la distance de la cellule à la solution idéale positive normalisée et à la solution idéale négative normlisée à l’aide de la valeur de paramètre Distance Method (Méthode de calcul de distance) sélectionnée. Les pondérations des rasters en entrée sont ensuite appliquées au calcul de la distance afin que les critères plus importants contribuent davantage aux distances positives et négatives.

   Le paramètre Distance Method (Méthode de calcul de distance) offre deux options pour calculer la distance : Euclidean distance (Distance euclidienne) et Manhattan distance (Distance de Manhattan).

   • Pour Euclidean distance (Distance euclidienne), les distances pondérées sont calculées comme suit :

     \(\large d_{i}^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} w_{j}(r_{ij} - r_{j}^{+})^{2}}\)

     \(\large d_{i}^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} w_{j}(r_{ij} - r_{j}^{-})^{2}}\)

   • Pour Manhattan distance (Distance de Manhattan), les distances pondérées sont calculées comme suit :

     \(\large d_{i}^{+} = \sum_{j=1}^{m} w_{j}\left|r_{ij} - r_{j}^{+}\right|\)

     \(\large d_{i}^{-} = \sum_{j=1}^{m} w_{j}\left|r_{ij} - r_{j}^{-}\right|\)

   où :

   • \(d_{i}^{+}\) est la distance pondérée entre la cellule \(i\) et la solution idéale positive normalisée.

   • \(d_{i}^{-}\) est la distance pondérée entre la cellule \(i\) et la solution idéale négative normalisée.

   • \(r_{ij}\) est la valeur normalisée de la cellule \(i\) pour le raster en entrée \(j\).

   • \(r_{j}^{+}\) est la valeur idéale positive normalisée pour le raster \(j\).

   • \(r_{j}^{-}\) est la valeur idéale négative normalisée pour le raster \(j\).

   • \(m\) est le nombre de rasters en entrée.

3. Enfin, les deux distances sont converties en un seul score de proximité selon la formule ci-dessous :

   \(OutRas = \frac{\large d_i^{-}}{\large d_i^{+} + d_i^{-}}\)

Exemple

En appliquant cette méthode aux exemples d’entrées, vous obtenez la sortie ci-après.

Exemple de la méthode Ideal point solutions (TOPSIS) (Solution du point idéal [TOPSIS])

1. La première étape consiste à normaliser les valeurs des cellules. Chaque raster contenant une cellule NoData, ces deux emplacements sont exclus du calcul.

   • Pour le raster 1, le facteur de normalisation est :

     \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 5^2 + 7^2 + 6^2} \approx 17.205\)

     Ainsi, pour la cellule supérieure gauche du raster 1, la valeur normalisée est la suivante :

     \(r_{1} = \frac {1}{17.205} = 0.058\)

   • Pour le raster 2, le facteur de normalisation est le suivant :

     \(\sqrt{6.5^{2} + 4.5^{2} + 1.1^{2} + 5.7^{2} + 8.3^{2} + 1.6^{2} + 2.3^{2} + 2.9^{2}} \approx 13.467\)

     Ainsi, pour la cellule supérieure gauche du raster 2, la valeur normalisée est la suivante :

     \(r_{2} = \frac{6.5}{13.467} = 0.483\)

   • Normalisez les valeurs idéales des points en utilisant les mêmes facteurs.

   • Pour le raster 1, les valeurs idéales positives et négatives sont respectivement 9 et 1.

     \(r_{1}^{+} = \frac{9}{17.205} = 0.523 \qquad r_{1}^{-} = \frac{1}{17.205} = 0.058\)

   • Pour le raster 2, les valeurs idéales positives et négatives sont respectivement 10 et 1.

     \(r_{2}^{+} = \frac{10}{13.467} = 0.742 \qquad r_{2}^{-} = \frac{1}{13.467} = 0.074\)

2. Calculez la distance aux idéaux positif et négatif avec les pondérations appliquées.

   • Pour la distance positive idéale :

     \(d^{+} = \sqrt{1.5 \times (0.058 - 0.523)^2 + 2 \times (0.483 - 0.742)^2} = 0.678\)

   • Pour la distance négative idéale :

     \(d^{-} = \sqrt{1.5 \times (0.058 - 0.058)^2 + 2 \times (0.483 - 0.074)^2} = 0.578\)

3. Calculer le score TOPSIS final

   \(Out_{cell} = \frac{0.578}{0.679 + 0.578} = 0.460\)

Applications possibles

Voici quelques applications de cette méthode :

• Développement urbain durable : utilisez TOPSIS si vous souhaitez identifier les zones les plus adaptées au développement urbain durable en fonction de plusieurs indicateurs, tels que l’accès aux transports en commun, la couverture végétale et l’exposition à la pollution. La méthode compare chaque emplacement à un ensemble idéal de conditions souhaitables et à un ensemble opposé de conditions indésirables. Les zones les plus proches de la solution idéale et les plus éloignées de la solution idéale négative reçoivent des valeurs d’adéquation supérieures pour aider les urbanistes à identifier les emplacements qui favorisent le mieux les objectifs de développement durable.

• Adéquation des sites d’élimination des déchets solides : utilisez TOPSIS pour combiner plusieurs critères afin d’identifier un site d’élimination des déchets solides. Les conditions favorables (sites les plus sûrs sur le plan environnemental, techniquement réalisables et moins susceptibles d’affecter les communautés voisines) définissent la solution idéale positive, tandis que les conditions défavorables (emplacements proches de colonies ou de plans d’eau, ou zones avec un terrain ou une utilisation du sol inadaptés) définissent la solution idéale négative. TOPSIS permet d’identifier les sites qui sont à la fois les plus proches des conditions d’élimination souhaitées et les plus éloignés des conditions inadaptées.

Rubriques connexes

• Vue d’ensemble du jeu d’outils Overlay (Superposition)

• Multicriteria Overlay (Superposition multicritère)