Fonctionnement de l’outil Direction moyenne linéaire

La tendance d’un ensemble d’entités linéaires se mesure en calculant l’angle moyen des lignes. La statistique utilisée pour calculer la tendance porte le nom de moyenne directionnelle. Bien que la statistique elle-même soit appelée moyenne directionnelle, elle permet de mesurer une direction ou une orientation.

De nombreuses entités linéaires pointent dans une direction ; elles ont un point de départ et un point d’arrivée. Ces lignes représentent souvent les trajectoires d’objets en mouvement, tels que des ouragans. D’autres entités linéaires, comme les lignes de faille, n’ont ni point de départ ni point d’arrivée. Ces entités sont considérées comme ayant une orientation mais pas de direction. Par exemple, une ligne de faille peut avoir une orientation nord-ouest/sud-est. L’outil Direction moyenne linéaire permet de calculer la direction moyenne ou l’orientation moyenne d’un ensemble de lignes.

Mesure de la direction ou de l’orientation

Dans un SIG, chaque ligne dispose d’un point de départ, d’un point d’arrivée et d’une direction. La direction est définie lorsque l’entité linéaire est créée par numérisation ou importation d’une liste de coordonnées. Vous pouvez voir la direction de chaque ligne en l’affichant avec un symbole de pointe de flèche. Si vous calculez la direction moyenne, veillez à ce que les directions des lignes soient correctes. Si vous calculez l’orientation moyenne, la direction des lignes est ignorée.

La direction moyenne est calculée pour les entités qui se déplacent d’un point de départ jusqu’à un point d’arrivée, comme les tempêtes, alors que l’orientation moyenne est calculée pour des entités stationnaires, comme les lignes de failles. Dans certaines situations, il peut s’avérer nécessaire de calculer l’orientation moyenne des lignes qui représentent le mouvement. Un biologiste de la faune sauvage qui s’intéresse aux points de départ et d’arrivée de la migration saisonnière des wapitis peut calculer la direction moyenne des parcours effectués par ces animaux à chaque saison. Cependant, le biologiste calculerait l’orientation moyenne s’il s’intéressait aux caractéristiques des itinéraires de migration proprement dits afin de déterminer ce qui qualifie un bon itinéraire, plutôt que les points de départ et d’arrivée des wapitis. Le biologiste pourrait calculer l’orientation moyenne en utilisant les trajets des élans dans les deux directions (aller et retour) et en recueillant plus d’informations sur leurs déplacements.

Il est important de se rappeler que même si la plupart des lignes présentent de nombreux sommets entre le point de départ et le point d’arrivée, cet outil n’utilise que ces deux points pour déterminer la direction.

Calculs

La direction moyenne linéaire est calculée ainsi :

\[ \mathrm{LDM}=\arctan\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i}{\sum_{i=1}^{n} \cos \theta_i}\right) \]

où \(\theta_i\) sont les directions d’un ensemble d’entités polylignes ayant la même origine.

Un ajustement supplémentaire du quadrant est nécessaire :

\[ \begin{cases}\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i \ge 0,;\sum_{i=1}^{n} \cos \theta_i > 0&\Rightarrow\ \mathrm{LDM} \[6pt] \sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i \ge 0,;\sum_{i=1}^{n} \cos \theta_i < 0&\Rightarrow\ 180^\circ - \mathrm{LDM} \[6pt] \sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i < 0,;\sum_{i=1}^{n} \cos \theta_i > 0&\Rightarrow\ 360^\circ - \mathrm{LDM} \[6pt] \sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i < 0,; \sum_{i=1}^{n} \cos \theta_i < 0 &\Rightarrow\ 180^\circ + \mathrm{LDM} \end{cases} \]

La variance circulaire est calculée comme suit :

\[ \mathrm{CirVar}=1-\frac{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i\right)^2 +\left(\sum_{i=1}^{n} \cos \theta_i\right)^2}}{ n} \]

La variance sphérique est calculée comme suit :

\[ \mathrm{SphVar}=1-\frac{\sqrt{ \left(\sum \sin \theta \sin \varphi\right)^2+ \left(\sum \cos \theta \sin \varphi\right)^2+ \left(\sum \cos \varphi\right)^2} }{n} \]

où \(azimuth = 0\) et \(angleZ = \varphi\).

Sortie

L’outil Direction moyenne linéaire permet de créer une classe d’entités en sortie qui contient une entité linéaire centrée sur le centre moyen de tous les centroïdes vectoriels en entrée, avec une longueur égale à la longueur moyenne de tous les vecteurs en entrée et avec l’orientation moyenne ou la direction moyenne de tous les vecteurs en entrée. Les valeurs attributaires des nouvelles entités linéaires comprennent l’angle horizontal (dans le sens horaire depuis le plein nord), la moyenne directionnelle (dans le sens antihoraire depuis l’est), la variance circulaire (indication de l’écart des directions/orientations par rapport à la moyenne directionnelle), les coordonnées X et Y du centre moyen et la longueur moyenne.

Applications possibles

• Comparaison de deux ensembles de lignes ou plus : par exemple, un biologiste de la faune sauvage qui étudie le déplacement des wapitis et des élans dans une vallée fluviale pourrait calculer la tendance directionnelle des routes migratoires des deux espèces.

• Comparaison d’entités sur différentes périodes : par exemple, un ornithologue pourrait calculer la tendance de la migration des faucons mois par mois. La moyenne directionnelle résume les trajectoires de vol de plusieurs individus et élimine les déplacements journaliers par lissage. Cela permet d’observer clairement pendant quel mois les oiseaux voyagent le plus loin et quand la migration prend fin.

• Évaluation des arbres abattus dans une forêt pour comprendre le régime des vents et la direction du vent.

• Analyse des stries glaciaires, qui indiquent le mouvement des glaciers.

• Identification de la direction générale des vols de voitures et des récupérations de véhicules volés.

Ressources supplémentaires

Cordeiro, Gauss M. et Silvia L. De Paula Ferrari. « A modified score test statistic having chi-squared distribution to order n ⁻¹ . » Biometrika (1991) 78 (3): 573-582.

Mardia, K.V. et Peter E. Jupp. Directional Statistics. Chichester: J. Wiley, 2000.

Mitchell, Andy. The ESRI Guide to GIS Analysis, Volume 2. ESRI Press, 2005. *