加重ボロノイの生成の仕組み
Spatial Analyst ライセンスで利用可能。
加重ボロノイの生成 ツールは、入力ポイント サイトの周囲の影響領域に空間を分割し、選択したボロノイ タイプに基づいて、影響コストが最も低いサイトに各位置を割り当てます。 このツールは、サイト固有の加重、高次アロケーション、一般化された影響式を組み込むことで、クラシックな加重なしボロノイ (ティーセンとも呼ばれる) 図を拡張します。 これは、ラスター アロケーション ワークフローをサポートすると同時に、ベクター ワークフロー用のポリゴン表現も提供するように設計されています。
加重ボロノイの使用
加重ボロノイ機能は、従来のティーセン ポリゴンとラスター アロケーション ツールの間の機能的なギャップを埋めます。 ティーセン ポリゴンは、実質的に 1 次の加重なしボロノイ領域であり、一般的にベクター構造として扱われます。 ユークリッド アロケーションはラスター アロケーションをサポートしていますが、複数の加重ボロノイ定式化、カスタム影響モデル、高次出力を、透過性と保守性を維持できる形で表現する構造にはなっていません。 加重ボロノイの生成 ツールは、ラスターとベクターの両方のワークフローをサポートする、専用の拡張可能な実装を提供します。
影響関数とアロケーション
このツールは、加重なしの影響度スコアまたは加重された影響度スコアを計算し、各サイトが周囲の平面に与える影響度を計算します。
\(S\) を入力サイトの集合とします。ここでは、\(i = 1 \ldots N\) であり、各サイトはジオメトリー \(s_i\) とオプション属性 \(w_i\) (重み) と \(k_i\) (係数) を持ちます。
解析領域の任意の位置 \(x\) に対して、ツールは以下の動作を行います。
選択した 距離法 と 距離単位 パラメーター値を用いて距離 \(d(x, s_i)\) を計算します。
選択した ボロノイ タイプ パラメーター値、または定義した カスタム式 を使って、その距離を影響度スコア \(F_i(x)\) に変換します。
位置 \(x\) を影響度スコアを最小化するサイト (または複数のサイト) に割り当てます。
次のような影響方程式の例があります。
加重なし (クラシック ボロノイ): \(F_i(x) = d(x, s_i)\)
加重 (例形式): \(F_i(x) = d(x, s_i) \times w_i\)
カスタム (例形式): \(F_i(x) = \dfrac{d(x, s_i)}{(\sqrt{w_i})^{k_i}} + e\)
各位置について、ツールはすべての候補サイトにわたって影響度スコアを比較し、その位置をスコアが最も低いサイト (またはサイト セット) に割り当てます。 つまり、影響度スコアが低いほど影響度が強く、そのスコアによってボロノイ割り当てが決定されます。
一次ボロノイ計算では、各位置が単一の最適なサイトに割り当てられます。 高次計算では、各位置が \(k\)番目 の最近接サイト (または、組み合わせによっては最初の \(k\) 個の最近接サイトの集合) に割り当てられます。
距離の計算
距離計算の結果は、2 つのパラメーターの設定に依存します。
距離法 のパラメーター値は、\(d(x, s_i)\) の測定方法を決定します。
平面 オプションでは、平面 (直交) 演算を使用して投影座標系内の距離を計算します。 この方法は、マップ スケールで地球の曲率を無視でき、データが適切な投影座標系にある解析に適しています。
測地線 オプションでは、地球の曲率を考慮した楕円体の距離を計算します。 この方法は、データセットが地理座標内にある場合または広範囲をカバーする場合に適しています。
距離単位 パラメーター値は、距離値に対してレポート用および内部スケーリング用の単位をどのように調整するかを定義します。 これは、影響関数における \(d\) の数値的大きさにも影響します。 サポートされている単位は、セル、メートル、センチメートル、キロメートル、インチ、フィート、ヤード、マイルです。
セル オプションを使用すると、距離はラスター セル数で表されます。 これには、既知の地表面の距離に対応する出力セル サイズが必要です。 値が提供されていない場合は、解析エリアの範囲を使用してデフォルトのセル サイズが計算されます。
ボロノイ タイプ
距離と加重の関係は、ボロノイ タイプ のパラメーター値によって定義されます。 このパラメーターは、影響関数 \(F_i(x)\) を定義します。 概念的には、すべてのタイプは同じ決定ルール、つまり、影響度スコアが最も低いサイトに位置を割り当てるというルールに集約されます。 違いは、距離と属性の組み合わせ方にあります。
加重なし
公式は次のとおりです: \(Influence = d\)
このタイプの動作は、標準的なティーセンです。 影響度は、ジオメトリックな近接のみによって決まります。 加重は無視されます。 境界とは、ポイント間の等距離に位置する直線です。
乗法性加重
公式は次のとおりです: \(Influence = d \times w\)
このタイプの動作は、重力モデルのものです。 これは、小売および市場分析に適しています。 加重が高いほど距離の摩擦が軽減され、施設がより近く見えるようになります。 加重値が 2 の店舗のリーチは、加重が 1 の店舗の半分になります。 境界は通常円弧です。
加法性加重
公式は次のとおりです: \(Influence = d - w\)
このタイプの動作は、成長モデルのものです。 物理的な拡張やサービス キャパシティーに使用されます。 加重は、先行分あるいは初期半径として機能します。 境界は加重の差分によって決まります。 境界は双曲線または直線です。
累乗加重
公式は次のとおりです: \(Influence = d^2 - w^2\)
このタイプの動作は、ラゲール幾何学に従います。 これは、加法性加重の一種であり、二乗値を指数として使用します。 曲線的な境界を作る乗法性または加法性のものとは異なり、パワー ダイアグラムは直線的な境界を生成します。
カスタム式
これにより、カスタム公式を使用できるようになります。 指定した式に基づいて動作を定義します。
カスタム式の例は、次のとおりです。
距離、加重、係数を 1 つの式にまとめた \(d + (w \times k)\) を使用します。
最も強力なレーダーまたはアンテナ信号を選択するためには \(-\dfrac{w}{d^4}\) または \(-\dfrac{w}{d^2}\) を使用します。 マイナス記号を使用すると、減衰する強度関数が反転され、強い信号ほど影響度スコアが小さくなり、ツールの最小スコア アロケーションのルールに一致するようになります。
医療施設のアクセス モデリングには \(\dfrac{d}{\sqrt{w} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{w}}} \times k}\) を使用します。
また、加重や係数の動作を制御し修正するために、カスタム式に演算子や関数を組み込むこともできます。 たとえば、式では、\(\exp(\cdot)\)、\(\log(\cdot)\)、\(\operatorname{abs}(\cdot)\)、\(\pi\)、オイラーの数 $e$などの関数や定数を使用できます。
計算の例
A と B という 2 つのサイトと位置 \(p\) があると仮定します。 \(p\) とサイトとの距離は \(d_A = 1200\) メートルと \(d_B = 900\) メートルです。
加重なしボロノイ
\(F_A = 1200\)、\(F_B = 900\)。
したがって、位置 \(p\) はサイト B に割り当てられます。
加法性加重ボロノイ
サイト A の容量が \(w_A = 500\)、サイト B の容量が \(w_B = 100\) と仮定します。
そのため、
\(F_A = 1200 - 500 = 700\)
\(F_B = 900 - 100 = 800\)
この場合、B の方が近いものの、A の方が加重が高く、影響度スコアが低くなっています。 したがって、位置 \(p\) はサイト A に割り当てられます。
乗法性加重ボロノイ
先ほどと同じ加重、\(w_A = 500\) と \(w_B = 100\) を考慮します。
\(F_A = 1200 \times 500 = 600{,}000\)
\(F_B = 900 \times 100 = 90{,}000\)
ここで、サイト A はサイトへの影響度がより高いため、位置 \(p\) はサイト B に割り当てられます。
累乗加重ボロノイ
加重が同じ場合、公式は次のようになります。
\(F_A = (1200 \times 1200) - (500 \times 500) = 1{,}190{,}000\)
\(F_B = (900 \times 900) - (100 \times 100) = 800{,}000\)
この場合、サイト B が優先されます。
カスタム式
次のカスタム式を考慮します。
\(F(d,w,k) = \dfrac{d^2}{\max(w,k)}\)
\(w_A = 2\) と \(w_B = 1\) および \(k = 1\) の場合:
\(F_A = \dfrac{1200^2}{2} = 720{,}000\)
\(F_B = \dfrac{900^2}{1} = 810{,}000\)
この場合、サイト A が選ばれます。
ボロノイ次数の仕組み
ボロノイ次数 パラメーターは、割り当てに使用される近隣ランクを定義します。 値が 1 の場合はクラシック割り当てに対応します。 つまり、各位置が、最も影響力のある単一のサイトに割り当てられます。これは、選択した影響関数に基づく最近隣のサイトです。 値が 2 の場合は各位置が 2 番目に影響力のあるサイトに割り当てられ、値が 3 の場合は 3 番目に影響力のあるサイトに割り当てられます。 1 より大きい値の使用は、バックアップ施設のモデリングや冗長性を考慮した計画などのシナリオに適用できます。
概念的には、各位置について全サイトの影響度スコア \((F_i(x))\) を計算し、順位付けをして、順序が \(k\) のときに \(k\)番目 にランク付けされたサイトをアロケーション対象として選択します。
距離設定、ボロノイ タイプ、次数
距離法 パラメーターを変更すると距離の計算方法が変わります。 平面 オプションを選択すると、ツールは投影法の選択とスケールの影響を受けやすくなり、測地線 オプションを選択すると、広範囲にわたって安定した計算を実行できるようになります。 距離単位 パラメーターを変更すると、数値距離値がスケーリングされ、距離と属性項を組み合わせた加重式およびカスタム式に影響が及びます。 加重を解釈しやすくするには、一貫した単位を使用することが不可欠です。 ボロノイ タイプ パラメーターを変更すると、サイトの属性が距離と競合する方法が変わります。 ボロノイ次数 パラメーター値を大きくすると、アロケーションが優先度の低いサイトに移行します。 ボロノイの組み合わせ パラメーターを使用し、出力がそのランクのみを表すか、それまでの累積ランク集合を表すかを変更します。
適用例
このツールには次のような適用例があります。
都市および地域計画 - 施設の容量に基づいてサービス エリアを分割します。たとえば、人員サイトの規模や配置を考慮しながら、地区を学校、図書館、公共サービス センターに割り当てます。 高次出力は、オーバーフロー シナリオの冗長性計画をサポートします。
医療アクセスと地域モデリング - 病床数、医療提供者の能力、専門分野の利用可能性で加重し、人口をクリニックまたは病院に割り当てます。
緊急管理および災害対応 - 施設、人員配置、または準備状況に応じて施設のステージング エリアとリソースを割り当てます。 2 次または 3 次割り当ては、1 次サイトが利用できない場合のバックアップ対応拠点を表します。
小売および市場分析 - 売上高または収益を加重として使用し、店舗商圏を区画し、競合分析、市場影響モデリング、テリトリー計画をサポートします。 大きな店舗ほど、距離だけで予測できる以上の強い吸引力を発揮します。
環境管理および保全 - センサー ネットワークまたはサンプリング ステーションの観測影響を割り当てます。この場合、加重にはセンサー感度またはサンプリング強度が反映されます。 これにより、モニタリング設計のための空間分割が改善されます。
アクセシビリティーおよび公平性の解析 - 距離と容量の両方を組み込んだアロケーション サーフェスを作成し、最も近い施設と有効な施設 (容量調整済みの影響モデルにおいて最も近い施設) を比較できるようにします。 これは特に、パブリック サービスやモビリティー計画にとって重要です。
その他の参照先
Aurenhammer, F. (1987). Power diagrams: Properties, algorithms and applications. SIAM Journal on Computing, 16 (1), 78-96.
Aurenhammer, F., & Klein, R. (1996). Voronoi diagrams. FernUniversität, Fachbereich Informatik.
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