マルチディスタンス空間クラスター解析 (Ripley の K 関数法) の仕組み
Ripley の K 関数法に基づく マルチディスタンス空間クラスター解析 (Ripley の K 関数法) ツールは、インシデント ポイント データの空間パターンを解析するためのもう 1 つの方法です。 この方法がこのツールセット内の他の方法 (空間自己相関 および ホットスポット分析) と異なる特徴は、空間依存性 (フィーチャ クラスタリングまたはフィーチャの分散) を一定範囲の距離にわたって集約することです。 多くのフィーチャ パターン分析の研究では、分析の適切なスケールが求められます。 たとえば、分析において 距離バンドまたは距離の閾値 が必要になることがよくあります。 複数の距離と空間縮尺で空間パターンを探索するときは、多くの場合、稼働中の特定の空間的プロセスの優位性を一般的に反映して、パターンが変化します。 Ripley の K 関数法は、近傍サイズが変化したときにフィーチャの重心の空間クラスタリングまたは分散がどのように変化するかを示します。
このツールを使用する際は、評価する距離の数を指定し、必要に応じて開始距離および/または距離の増分を指定します。 この情報を基に、ツールは各フィーチャに関連する隣接フィーチャの平均数を計算します。隣接フィーチャとは、評価される距離よりも近いフィーチャです。 評価距離が長くなると、通常、各フィーチャの隣接フィーチャ数が増えます。 特定の評価距離における隣接フィーチャの平均数が、分析範囲全体の平均的なフィーチャ濃度よりも高い/大きい場合、そのその距離の分布はクラスタリングされているとみなされます。
このツールは、異なる距離 (異なる分析のスケール) でフィーチャのクラスタリングまたは分散がどのように変化するかを調べたい場合に使用します。
演算
Ripley の元の K 関数法にはいくつかのバリエーションが派生しています。 以下では、一般的に L(d) と呼ばれることが多い K 関数の代表的な変換が実装されます。
K 関数は次のように示されます:
ここで \(d\) は距離で、\(n\) はフィーチャの総数に相当します。\(A\) はフィーチャの合計面積を表し、\(k_{ij}\) は加重を示します。 エッジ補正がない場合、加重は、\(i\) と \(j\) 間の距離が \(d\) 未満のときに 1 に等しくなり、それ以外のときには 0 に等しくなります。 指定のエッジ補正方法を使うと、\(k_{ij}\) がわずかに修正されます。
L(d) 変換を使用する場合、期待された K 値は距離に等しくなります
デフォルトの 開始距離 および 距離の増分 の値は次のように計算されます:
距離バンド数 は常に既知です (デフォルト値は 10)。 この反復回数の値を使って、デフォルトの 距離の増分 を計算します (指定されていない場合)。
最初に、最大距離値を、入力フィーチャを囲む最小境界四角形の最大範囲の長さの 25 %として計算します。 分析境界付近の補正方法 が 分析エリアの縮小 の場合、最大距離は、最小境界四角形の最大範囲の長さの 25% または最小範囲の長さの 50% のいずれか大きい方に設定されます。
開始距離 が指定されている場合、距離の増分 は (最大距離 - 開始距離) / 反復回数になります。
開始距離 が指定されていない場合、距離の増分 は最大距離 / 反復回数となり、開始距離 は距離の増分値に設定されます。
加重なしの K 関数結果の解釈
特定の距離で観測された K 値が期待される K 値より大きい場合、その距離 (分析のスケール) におけるランダム分布より高度にクラスタリングされた分布になります。 観測された K 値が期待される K 値より小さい場合、その距離におけるランダム分布より高度に分散された分布になります。 観測された K 値が信頼度エンベロープの上限 (HiConfEnv) 値より大きい場合、その距離の空間クラスタリングは統計的に有意です。 観測された K 値が信頼度エンベロープの下限 (LwConfEnv) 値より小さい場合、その距離の空間分散は統計的に有意です。
加重フィールド を指定しなかった場合、信頼度エンベロープは、分析範囲にポイントをランダムに配置して、その分布の k 値を計算することで作成されます。 ポイントの各ランダム分布は「 "順列"」と呼ばれます。 たとえば、99 順列 を選択した場合、ポイント集合は繰り返し実行ごとに 99 回ランダムに配置されます。 ポイントが 99 回にわたって配置されると、ツールは各距離に対して、期待される K 値の上下に最も大きく逸脱した K 値を選択します。これらの値が信頼区間になります。 信頼度エンベロープは、加重なし K の期待される K (青のライン) に沿って生成される (そのラインと同じ形状と位置を保持する) 傾向があります。
加重ありの K 関数結果の解釈
K 関数は、加重フィールド が指定されていても、フィーチャの空間分布を完全空間ランダム性 (CSR) との関係で常に評価します。 加重は、フィーチャの位置ごとの一致するフィーチャの数を表していると考えることができます。 たとえば、加重が 3 のフィーチャは、一致する 3 つのフィーチャとして解釈できます。 ただし、違いが 1 つあります。それはフィーチャをそれ自体の隣接フィーチャにすることはできないことです。 したがって、加重が 1 である 3 つの個別の一致ポイント (すべてがお互いの隣接フィーチャとしてカウントされる) があるデータセットの場合と、加重が 3 の単一ポイント (フィーチャがそれ自体の隣接フィーチャとしてカウントされない) があるデータセットの場合では、異なる結果が得られます。 加重 K 関数の結果は常に、加重フィールドが使用されない結果より高度にクラスタリングされます。 これは、加重なしのポイントに対して K 関数を実行し、フィーチャの位置だけに関連付けられているクラスタリングの程度を示すベースラインを取得するときに便利です。 これにより、そのベースラインと加重結果を比較して、加重を考慮するとどの程度のクラスタリングまたは分散が追加されるかを把握できます。 加重 K 関数は、加重なしのパターンから得られる結果を上回る (下回る) クラスタリング (分散) を示します。 実際、CSR の代わりに、加重なしの K 関数の結果を使って、期待されるパターン (独自の信頼度エンベロープを使用) を表現することもできます。 この場合、2 つの帰無仮説が考えられます:
加重されたフィーチャのパターンは、それらのフィーチャの基になるパターンよりもはるかに高度にクラスタリング (分散) されているわけではありません。 観測された加重結果が、加重なしの結果の信頼度エンベロープの範囲外であれば、帰無仮説を棄却します。
加重ポイントのパターンは、偶然に発生する場合より高度にクラスタリング (分散) されます。 観測された加重なしの結果が、加重 K 関数結果の信頼度エンベロープの範囲内にあれば、帰無仮説を棄却します。
加重フィールド を指定した場合は、加重値だけがランダムに再配置されて、信頼度エンベロープが計算されます。ポイント位置は固定です。 基本的に、加重フィールド を指定した場合、位置は固定されたままで、空間におけるフィーチャ値のクラスタリングが評価されます。 結果はフィーチャの固定位置によって強固に構造化されるため、加重 K 解析の信頼度エンベロープは、観測された K (赤のライン) に沿って生成される (そのラインを反映する) 傾向があります。
参考資料
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Mitchell, Andy. The ESRI Guide to GIS Analysis, Volume 2. ESRI Press, 2005.