Принцип работы инструмента Создать взвешенные полигоны Вороного
Доступно с лицензией Spatial Analyst.
Инструмент Создать взвешенные полигоны Вороного разбивает пространство на области влияния вокруг входных точечных объектов, при этом каждое местоположение относится к той области, которая имеет наименьшую стоимость влияния в соответствии с выбранным типом Вороного. Этот инструмент расширяет классическую диаграмму Вороного без весов (также известную как диаграмма Тиссена) за счет включения весов, специфичных для объектов, распределения более высокого порядка и обобщенного выражения влияния. Он предназначен для поддержки рабочих процессов распределения для растров, а также предоставляет полигональное представление для векторных рабочих процессов.
Использование взвешенных полигонов Вороного
Возможность создания взвешенных полигонов Вороного заполняет функциональный пробел между традиционными полигонами Тиссена и инструментами распределения для растров. Полигоны Тиссена фактически являются областями Вороного первого порядка без весов и обычно рассматриваются как векторное построение. Распределение по евклидову расстоянию поддерживает распределение для растров, но не имеет структуры, позволяющей представлять различные варианты согласованных полигонов Вороного с весовыми коэффициентами, пользовательские модели влияния и выходные данные более высокого порядка таким образом, чтобы обеспечить прозрачность и удобство пользования. Инструмент Создать взвешенные полигоны Вороного предоставляет специализированную, расширяемую реализацию, которая поддерживает как растровые, так и векторные рабочие процессы.
Функция влияния и распределение
Инструмент вычисляет влияние каждого объекта на окружающую плоскость путем вычисления оценок влияния без весов или со взвешенными значениями.
Пусть \(S\) — набор входных объектов, где \(i = 1 \ldots N\), и каждый объект имеет геометрию \(s_i\) и дополнительные атрибуты \(w_i\) (вес) и \(k_i\) (коэффициент).
Для любого местоположения \(x\) в исследуемом пространстве инструмент выполняет следующие действия:
Вычисляет расстояние \(d(x, s_i)\) с использованием значений параметров Метод расстояния и Единица измерения расстояния.
Преобразует это расстояние в оценку влияния \(F_i(x)\) с использованием значения параметра Тип Вороного или Пользовательское выражение, которое вы задаете.
Присваивает местоположение \(x\) объекту (или объектам), которое минимизирует показатель влияния.
К примерам уравнений влияния относятся следующие:
Без весов (классическая диаграмма Вороного): \(F_i(x) = d(x, s_i)\)
Взвешенная (пример формы): \(F_i(x) = d(x, s_i) \times w_i\)
Пользовательская (пример формы): \(F_i(x) = \dfrac{d(x, s_i)}{(\sqrt{w_i})^{k_i}} + e\)
Для каждого местоположения инструмент сравнивает оценки влияния по всем объектам-кандидатам и назначает местоположение объекту (или набору объектов) с наименьшей оценкой. Другими словами, более низкая оценка влияния означает более сильное влияние и определяет назначение объекта Вороного.
При вычислении Вороного первого порядка каждое местоположение назначается единственному лучшему объекту. При расчетах вычислении более высокого порядка каждое местоположение назначается \(k\)-му ближайшему объекту (или набору из первых \(k\) ближайших объектов, в зависимости от комбинации).
Вычисление расстояния
Результаты вычисления расстояния зависят от настройки двух параметров.
Значение параметра Метод расстояния определяет, как измеряется \(d(x, s_i)\).
Опция Планарный будет вычислять расстояния в системе координат проекции с использованием планарной (декартовой) математики. Этот метод подходит для анализа, где кривизной Земли можно пренебречь в масштабе карты и где данные находятся в подходящей системе координат проекции.
Опция Геодезический будет вычислять расстояния на эллипсоиде с учетом кривизны Земли. Этот метод подходит для использования, если наборы данных находятся в географических координатах или охватывают большие территории.
Значение параметра Единица измерения расстояния определяет, как будет корректироваться единица измерения для отчетов и внутреннего масштабирования значений расстояния. Она также влияет на числовую величину \(d\) в функции влияния. Доступные единицы: метры, сантиметры, километры, дюймы, футы, ярды и мили.
При использовании опции Ячейки расстояние будет выражаться в количестве ячеек растра. Для этого требуется размер выходной ячейки, чтобы одна ячейка соответствовала известному расстоянию на местности. Если значение не предоставлено, размер ячейки по умолчанию будет рассчитан с использованием экстента области анализа.
Типы Вороного
Связь между расстоянием и весом определяется значением параметра Тип Вороного. Этот параметр определяет функцию влияния \(F_i(x)\). Концептуально все типы сводятся к одному и тому же правилу принятия решения: назначить местоположение объекту с наименьшей оценкой влияния. Они различаются тем, как комбинируются расстояние и атрибуты.
Невзвешенный
Формула: \(Influence = d\)
Поведение этого типа соответствует стандартной диаграмме Тиссена. Влияние определяется исключительно геометрической близостью. Веса игнорируются. Границы представляют собой прямые линии, равноудаленные от точек.
Мультипликативный взвешенный
Формула: \(Influence = d \times w\)
Поведение этого типа соответствует гравитационной модели. Он подходит для анализа розничной торговли и рынка. Более высокие веса уменьшают трение расстояния, делая объект как бы ближе. Магазин с весовым коэффициентом 2 имеет охват, равный половине охвата магазина с весовым коэффициентом 1. Границы обычно представляют собой дуги окружностей.
Аддитивный взвешенный
Формула: \(Influence = d - w\)
Поведение этого типа соответствует модели роста. Он используется для физического расширения или увеличения пропускной способности. Вес служит в качестве стартового преимущества или начального радиуса. Граница определяется разницей весов. Границы представляют собой гиперболические или прямые линии.
Взвешенная степень
Формула: \(Influence = d^2 - w^2\)
Поведение этого типа следует геометрии Лагерра. Это вариация аддитивного взвешивания, которая использует возведенные в квадрат значения в качестве показателей степени. В отличие от мультипликативных или аддитивных типов, которые создают криволинейные границы, диаграммы степеней создают прямолинейные границы.
Пользовательское выражение
Позволяет использовать пользовательскую формулу. Вы определите поведение на основе заданного вами выражения.
Некоторые примеры пользовательских выражений:
Используйте \(d + (w \times k)\), которое объединяет расстояние, вес и коэффициент в одном выражении.
Используйте \(-\dfrac{w}{d^4}\) или \(-\dfrac{w}{d^2}\) для выбора наиболее мощного сигнала радара или антенны. Знак минус используется для инверсии функции убывающей силы сигнала, с тем чтобы более сильные сигналы давали меньшие значения влияния, что соответствует правилу распределения с наименьшим значением, заложенному в инструменте.
Используйте \(\dfrac{d}{\sqrt{w} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{w}}} \times k}\) для моделирования доступа к медицинским учреждениям.
Вы также можете включать операторы и функции в пользовательские выражения для управления и изменения поведения весов и коэффициентов. Например, выражения могут использовать функции и константы, такие как \(\exp(\cdot)\), \(\log(\cdot)\), \(\operatorname{abs}(\cdot)\), \(\pi\) и число Эйлера \(e\).
Примеры выражений
Предположим, есть два объекта, A и B, и местоположение \(p\). Расстояния от \(p\) до объектов составляют \(d_A = 1200\) и \(d_B = 900\) метров.
Невзвешенная диаграмма Вороного
\(F_A = 1200\), \(F_B = 900\).
Следовательно, местоположение \(p\) будет назначено объекту B.
Диаграмма Вороного с аддитивным взвешиванием
Предположим, емкость объекта A составляет \(w_A = 500\), а объекта B — \(w_B = 100\).
Следовательно,
\(F_A = 1200 - 500 = 700\)
\(F_B = 900 - 100 = 800\)
В этом случае, несмотря на то, что B ближе, A имеет больший вес и меньшую оценку влияния. Следовательно, местоположение \(p\) будет назначено объекту A.
Мультипликативно-взвешенная диаграмма Вороного
Рассмотрим те же веса, что и раньше, где \(w_A = 500\) и \(w_B = 100\):
\(F_A = 1200 \times 500 = 600{,}000\)
\(F_B = 900 \times 100 = 90{,}000\)
Здесь объект A оказывает большее влияние на местоположение, и поэтому местоположение \(p\) будет назначено объекту B.
Степенная диаграмма Вороного
С теми же весами формулы принимают вид:
\(F_A = (1200 \times 1200) - (500 \times 500) = 1{,}190{,}000\)
\(F_B = (900 \times 900) - (100 \times 100) = 800{,}000\)
В этом случае выигрывает объект B.
Пользовательское выражение
Рассмотрим пользовательское выражение, где:
\(F(d,w,k) = \dfrac{d^2}{\max(w,k)}\)
Если \(w_A = 2\) и \(w_B = 1\), а \(k = 1\), то:
\(F_A = \dfrac{1200^2}{2} = 720{,}000\)
\(F_B = \dfrac{900^2}{1} = 810{,}000\)
В этом случае будет выбран объект A.
Как работает порядок Вороного
Параметр Порядок Вороного определяет ранг соседства, который будет использоваться для распределения. Значение 1 соответствует классическому распределению. Это означает, что каждое местоположение будет назначено единственному наиболее влиятельному объекту, то есть ближайшему в соответствии с выбранной функцией влияния. Значение 2 назначит каждое местоположение второму по влиятельности объекту, а значение 3 — третьему по влиятельности объекту. Использование значений больше 1 может применяться в таких сценариях, как моделирование резервных объектов и планирование избыточности.
Концептуально для каждого местоположения инструмент вычисляет оценки влияния \((F_i(x))\) для всех объектов, ранжирует их по возрастанию и выбирает \(k\)-й ранжированный объект в качестве цели распределения, когда порядок = \(k\).
Настройки расстояния, тип Вороного и порядок
Изменение параметра Метод расстояния меняет способ вычисления расстояния. Выбор опции Планарный делает инструмент чувствительным к выбору проекции и масштабу, в то время как опция Геодезический позволяет инструменту выполнять вычисления, которые стабильны на больших территориях. Изменение параметра Единица измерения расстояния масштабирует числовые значения расстояния и, следовательно, влияет на взвешенные и пользовательские выражения, которые комбинируют расстояние с атрибутивными терминами. Использование единообразных единиц измерения имеет решающее значение для интерпретируемости весовых коэффициентов. Изменение параметра Тип Вороного влияет на то, как атрибуты объекта соотносятся с расстоянием. Увеличение значения параметра Порядок Вороного приводит к смещению распределения в сторону менее предпочтительных объектов. С помощью параметра Комбинация Вороного можно настроить, будет ли выходной результат отражать только данный ранг или совокупность рангов до него.
Возможное применение
Среди возможных областей применения этого инструмента можно выделить следующие:
Городское и региональное планирование — разделение зон обслуживания на основе емкости объектов, например, назначение микрорайонов школам, библиотекам или центрам государственных услуг с учетом размера объекта или численности персонала. Выходные данные более высокого порядка поддерживают возможность планирования резервирования на случай переполнения.
Моделирование доступа к медицинской помощи и определение зон обслуживания — распределение населения по поликлиникам или больницам с учетом количества коек, пропускной способности медицинских учреждений или наличия врачей определенных специальностей.
Управление чрезвычайными ситуациями и ликвидация последствий бедствий — определение зон сосредоточения сил и ресурсов в тех случаях, когда эффективность работы объекта зависит от оборудования, кадрового обеспечения или степени готовности. Объекты второго или третьего порядка служат резервными пунктами реагирования в случае недоступности основных объектов.
Аналитика розничной торговли и рынков — определение зон обслуживания магазинов с использованием объема продаж или выручки в качестве весовых коэффициентов, что способствует анализу конкуренции, моделированию рыночного влияния и планированию территорий. Более крупные магазины оказывают большее воздействие притяжения, чем можно было бы предсказать, исходя только из расстояния.
Управление окружающей средой и охрана природы — распределение зоны влияния для сетей датчиков или станций отбора проб, где весовые коэффициенты отражают чувствительность датчиков или интенсивность отбора проб. Это улучшает пространственное разбиение при проектировании систем мониторинга.
Анализ доступности и справедливости — создание поверхностей распределения, учитывающих как расстояние, так и пропускную способность, что позволяет сравнивать ближайший объект и эффективный объект (ближайший в рамках модели влияния с поправкой на пропускную способность). Это особенно актуально для сферы общественных услуг и планирования мобильности.
Дополнительные ссылки
Aurenhammer, F. (1987). Power diagrams: Properties, algorithms and applications. SIAM Journal on Computing, 16 (1), 78-96.
Aurenhammer, F., & Klein, R. (1996). Voronoi diagrams. FernUniversität, Fachbereich Informatik.
Boots, B. N. (1980). Weighting Thiessen polygons. Economic Geography, 56 (3), 248-259.
Lee, D. T., & Drysdale, R. L., III. (1981). Generalization of Voronoi diagrams in the plane. SIAM Journal on Computing, 10 (1), 73-87.
Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K., & Chiu, S. N. (2009). Spatial tessellations: Concepts and applications of Voronoi diagrams (2nd ed.). Wiley.