生成加权 Voronoi 工作原理
需具备 Spatial Analyst 许可方可使用。
生成加权 Voronoi 工具将空间划分为输入点站点周围的影响区域，并在选定的沃罗诺伊类型下，将每个位置分配给影响成本最低的站点。 该工具通过结合站点专属权重、高阶分配和广义影响表达式，扩展了经典的无加权Voronoi（也称为泰森）图。 它旨在支持栅格分配工作流，同时还为矢量工作流提供多边形表示。
加权 Voronoi 的用途
加权 Voronoi 功能填补了传统泰森多边形与栅格分配工具之间的功能空白。 泰森多边形实际上是一阶无加权 Voronoi 区域，通常被视为矢量结构。 欧几里得分配支持栅格分配，但在其结构上，无法以保持透明和可维护的方式来表示多种加权 Voronoi 公式、自定义影响模型和高阶输出。 生成加权 Voronoi 工具提供了一个专用的、可扩展的实现，同时支持栅格和矢量工作流。
影响函数与分配
该工具通过计算无加权或加权影响得分，来计算每个站点对周围平面的影响。
设 \(S\) 为输入站点集合，其中 \(i = 1 \ldots N\)，每个站点具有几何 \(s_i\) 以及可选属性 \(w_i\)（权重）和 \(k_i\)（系数）。
对于研究空间中的任意位置 \(x\)，该工具执行以下操作：
使用选定的距离方法和距离单位参数值计算距离 \(d(x, s_i)\)。
使用选定的 Voronoi 类型参数值或您定义的自定义表达式，将该距离转换为影响得分 \(F_i(x)\)。
将位置 \(x\) 分配给能够最小化影响得分的站点（或多个站点）。
示例影响方程包括以下内容：
无加权（经典 Voronoi）：\(F_i(x) = d(x, s_i)\)
加权（示例形式）：\(F_i(x) = d(x, s_i) \times w_i\)
自定义（示例形式）：\(F_i(x) = \dfrac{d(x, s_i)}{(\sqrt{w_i})^{k_i}} + e\)
对于每个位置，该工具会比较所有候选站点的影响得分，并将该位置分配给得分最低的站点（或站点集合）。 换句话说，影响得分越低意味着影响越强，并由此决定 Voronoi 的分配结果。
在一阶 Voronoi 计算中，每个位置都分配给唯一的最佳站点。 在高阶计算中，每个位置会被分配给其第 \(k\) 个最近的站点（或根据组合方式分配给前 \(k\) 个最近站点的集合）。
距离计算
距离计算的结果取决于两个参数的设置。
距离方法参数值决定了如何测量 \(d(x, s_i)\)。
平面选项将使用平面（笛卡尔）数学计算投影坐标系中的距离。 此方法适用于在地图比例尺下可以忽略地球曲率，且数据处于合适投影坐标系中的分析。
测地线选项将在椭球体上计算距离，并考虑地球曲率。 如果数据集处于地理坐标系中或覆盖范围很大，则适合使用此方法。
距离单位参数值定义了如何针对距离值调整报告和内部缩放单位。 它还会影响影响函数中 \(d\) 的数值大小。 支持的单位包括像元、米、厘米、千米、英寸、英尺、码和英里。
当使用像元选项时，距离将以栅格像元数表示。 这需要指定输出像元大小，以便一个像元对应一个已知的地面距离。 如果未提供值，将使用分析区域的范围计算默认像元大小。
Voronoi 类型
距离与权重之间的关系由 Voronoi 类型参数值定义。 该参数定义了影响函数 \(F_i(x)\)。 从概念上讲，所有类型都简化为相同的决策规则，即把某一位置分配给影响得分最低的站点。 它们的区别在于如何结合距离与属性。
未加权
公式为：\(Influence = d\)
该类型的行为是标准泰森多边形行为。 影响仅由几何邻近度决定。 权重将被忽略。 边界是各点之间等距的直线。
乘性加权
公式为：\(Influence = d \times w\)
该类型的行为类似于引力模型。 适合用于零售和市场分析。 较高的权重会降低距离摩擦，使设施显得更近。 例如，权重值为 2 的商店，其影响范围是权重为 1 的商店的一半。 其边界通常为圆弧。
加性加权
公式为：\(Influence = d - w\)
该类型的行为类似于增长模型。 它可用于实体扩张或服务容量分析。 权重起到了起跑优势或初始半径的作用。 边界由权重之差决定。 边界为双曲线或直线。
幂加权
公式为：\(Influence = d^2 - w^2\)
该类型的行为遵循拉盖尔几何。 它是加性加权的一种变体，使用平方值作为指数。 与产生曲线边界的乘性或加性类型不同，幂图产生的是直线边界。
自定义表达式
这样可以使用自定义公式。 您将根据自己提供的表达式来定义其行为。
自定义表达式的一些示例如下：
使用 \(d + (w \times k)\)，在单个表达式中结合距离、权重和系数。
使用 \(-\dfrac{w}{d^4}\) 或 \(-\dfrac{w}{d^2}\) 来选择最强雷达或天线信号。 负号用于翻转衰减强度函数，从而使更强的信号产生更小的影响得分，以符合该工具“最低得分分配”的规则。
使用 \(\dfrac{d}{\sqrt{w} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{w}}} \times k}\) 用于医疗机构可及性建模。
您还可以在自定义表达式中加入运算符和函数，以控制和修改权重及系数的作用方式。 例如，表达式可以使用函数和常量，如 \(\exp(\cdot)\)、\(\log(\cdot)\)、\(\operatorname{abs}(\cdot)\)、\(\pi\) 和欧拉常数 \(e\)。
示例计算
假设有两个站点 A 和 B，以及一个位置 \(p\)。 位置 \(p\) 到两个站点的距离分别为 \(d_A = 1200\) 米和 \(d_B = 900\) 米。
无加权 Voronoi
\(F_A = 1200\)、\(F_B = 900\)。
因此，位置 \(p\) 将分配给站点 B。
加性加权 Voronoi
假设站点 A 的容量为 \(w_A = 500\)，站点 B 的容量为 \(w_B = 100\)。
因此，
\(F_A = 1200 - 500 = 700\)
\(F_B = 900 - 100 = 800\)
在此情况下，尽管 B 的距离更近，但 A 具有更高的权重和更低的影响得分。 因此，位置 \(p\) 将分配给站点 A。
乘性加权 Voronoi
考虑与之前相同的权重，其中 \(w_A = 500\) 和 \(w_B = 100\)。
\(F_A = 1200 \times 500 = 600{,}000\)
\(F_B = 900 \times 100 = 90{,}000\)
在此处，站点 A 对该位置具有更强的影响力，因此，位置 \(p\) 将分配给站点 B。
幂加权 Voronoi
在相同的权重下，公式为：
\(F_A = (1200 \times 1200) - (500 \times 500) = 1{,}190{,}000\)
\(F_B = (900 \times 900) - (100 \times 100) = 800{,}000\)
在这种情况下，站点 B 胜出。
自定义表达式
考虑一个自定义表达式，其中：
\(F(d,w,k) = \dfrac{d^2}{\max(w,k)}\)
如果 \(w_A = 2\)、\(w_B = 1\) 和 \(k = 1\)，则：
\(F_A = \dfrac{1200^2}{2} = 720{,}000\)
\(F_B = \dfrac{900^2}{1} = 810{,}000\)
在这种情况下，将选择站点 A。
Voronoi 阶数工作原理
Voronoi 阶数参数定义了用于分配的邻域排名（即邻居秩）。 值为 1 对应经典分配。 这意味着每个位置都将分配给最具影响力的单个站点（即根据所选影响函数计算出的最邻近站点）。 值为 2 将把每个位置分配给其第二具影响力的站点，值为 3 则分配给其第三具影响力的站点。 使用大于 1 的值可应用于备用设施建模和冗余规划等场景。
从概念上讲，对于每个位置，该工具会计算所有站点的影响得分 \((F_i(x))\)，并对其进行升序排列；当阶数为 \(k\) 时，选择排名第 \(k\) 位的站点作为分配目标。
距离设置、Voronoi 类型与阶数
更改距离方法参数将改变距离的计算方式。 选择平面选项会使该工具对投影选择和比例尺敏感，而选择测地线选项则允许该工具在大范围内执行稳定的计算。 更改距离单位参数会缩放数值距离值，因此会影响将距离与属性项结合的加权表达式和自定义表达式。 使用一致的单位对于获得可解释的权重至关重要。 更改 Voronoi 类型参数会改变站点属性与距离的竞争方式。 增加 Voronoi 阶数参数值会将分配转移到次优（较低优先级）的站点上。 使用 Voronoi 组合参数来更改输出是仅代表该排名阶数，还是代表截至该阶数的累积排名集。
可能的应用
此工具的一些潜在应用包括：
城市与区域规划 - 根据设施容量划分服务区域，例如在考虑场地规模或人员配置的同时，将社区分配给学校、图书馆或公共服务中心。 高阶输出支持溢出场景的冗余规划。
医疗服务可及性与服务圈建模 - 按床位数、医疗服务能力或专科可用性进行加权，将人口分配到诊所或医院。
应急管理与灾害响应 - 指定集结区和资源，其中设施的影响力取决于设备、人员配置或战备状态。 二级或三级分配代表主站点不可用时的备用响应站点。
零售与市场分析 - 以销售额或收入作为权重来划定商店商圈，从而支持竞争分析、市场影响力建模和区域规划。 大型商店会产生更强大的吸引力，这超出了仅凭距离所做的预测。
环境管理与保护 - 为传感器网络或采样站分配观测影响力，其中的权重反映了传感器灵敏度或采样强度。 这改善了监测设计中的空间划分。
可及性与公平性分析 - 创建同时结合距离和容量的分配表面，从而能够比较“最近设施”与“有效设施”（在经容量调整的影响力模型下的最邻近设施）。 这对于公共服务和出行规划尤为重要。
其他参考
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Aurenhammer, F., & Klein, R. (1996). Voronoi diagrams. FernUniversität, Fachbereich Informatik.
Boots, B. N. (1980). Weighting Thiessen polygons. Economic Geography, 56 (3), 248-259.
Lee, D. T., & Drysdale, R. L., III. (1981). Generalization of Voronoi diagrams in the plane. SIAM Journal on Computing, 10 (1), 73-87.
Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K., & Chiu, S. N. (2009). Spatial tessellations: Concepts and applications of Voronoi diagrams (2nd ed.). Wiley.