多条件叠加工具的工作原理
多条件叠加工具通过各种多准则决策分析 (MCDA) 叠加方法将多个输入栅格合并为单一输出栅格。 MCDA 是一种结构化方法，用于选址、适宜性建模、风险制图以及区域规划优先级等空间决策任务。
该方法主要分两步。 第一步是将所有准则转化为统一尺度。 第二步是加权并组合转换后的准则以生成输出。
该工具执行第二步，即应用符合分析目标的叠加方法。
主要注意事项
执行多准则叠加分析时，主要注意事项如下：
准备并变换输入栅格
选择叠加方法
为输入栅格指定权重
有关这些注意事项的更多详细信息，请参阅下文。 后面的其他部分介绍了数学计算及每种方法的潜在应用。
准备并变换输入栅格
选择与多准则问题直接相关且可量化的输入栅格。 每个栅格应衡量单一准则。 由于栅格数据集的单位、值范围以及是高值还是低值代表更高的适宜性通常不同，因此应先将栅格变换为统一的尺度以进行合并。 栅格变换确保单一准则不会对结果产生不成比例的影响，且适宜性值的解释保持一致。
以栖息地适宜性分析为例。 要捕获动物对食物来源的需求，可以使用土地覆盖类型栅格和记录溪流邻近性的栅格。 要提供安全性，记录距建筑物的距离的栅格和坡度栅格可以帮助查找与人类接触的可能性最小的区域。 使用重分类工具可根据研究动物的栖息地偏好，为不同土地利用类型指定适宜性值。 对于代表连续准则的栅格，可以使用按函数重设等级工具将其转换为统一的适宜性尺度。
选择叠加方法
有许多不同的可用叠加方法，每种方法都具有不同的优势和要求。 研究每种叠加方法，然后选择最适合您的分析目标和要建模行为的方法。
为输入栅格指定权重
分配的权重必须反映每个输入在实现分析目标中的相对重要性。
可以咨询专家确定权重，也可以通过统计分析得出。 由于加权过程可能会显著影响分析结果，因此必须确保权重值合理。
加权总和
当输入栅格之间的权衡可接受时，使用叠加方法参数的加权总和选项。 一个栅格中的高值可以补偿另一个栅格中的低值，从而生成代表所有输入准则的整体综合性能或适宜性的结果。
公式
对于此方法，将每个输入栅格的像元值与其栅格权重相乘。 结果相加以创建输出栅格。
以公式的形式表示，每个位置的输出值计算如下：
\(OutRas = (Ras1 \times Weight1) + (Ras2 \times Weight2) + \ldots + (RasN \times WeightN)\)
示例
下图展示了将公式应用于两个具有不同权重因子的输入示例栅格的结果。 这些输入将用于所有其他方法的示例。
以左上方像元为例。 对于 InRas1，位置的像元值为 1。 将其乘以权重 1.5，得到值 1.5。 对于 InRas2，位置的像元值为 6.5，将其乘以权重 2，结果为 13。
将值 1.5 和 13 相加，得到该位置的输出像元值为 14.5。
可能的应用
该方法的应用包括：
风力发电厂选址：在风力发电厂选址工程中，利用此方法将多个准则汇总成一张适宜性地图。 该方法可以捕获拥有优越的风能资源如何根据指定重要性抵消中等坡度等不利条件。
酒庄种植规划：在葡萄园选址规划中，加权总和方法用于结合自然气候条件、成本相关因素和土壤特性，得到最终适宜性得分。 考虑到长期收益，高气候和土壤适宜性可以抵消较为不利的成本条件。
加权几何平均值
对于所有输入栅格值较高的分析，使用叠加方法参数中的加权几何平均值选项。
计算基于乘法，因此任何输入栅格中的低值都会成比例降低最终适宜性，且无法通过其他栅格中的更高值进行补偿。 它通常被选用来保持低值作为限制因素的影响，同时仍包含其他输入的贡献。 权重的指数级特性可以控制低值对结果的影响幅度。
公式
对于此方法，将取每个位置每个输入栅格中的像元值的对应权重次幂。 结果相乘后，取乘积的所有权重总和次幂。
以公式的形式表示，首先计算所有权重总和：
\(Weights_sum = Weight1 + Weight2 + \ldots + WeightN\)
接下来，取所有输入像元值的相关权重次幂，并计算这些值的乘积：
\(Values_product = Ras1^{Weight1} \times Ras2^{Weight2} \times \ldots \times RasN^{WeightN}\)
通过取加权值乘积的所有权重总和倒数次幂，计算每个位置的最终输出值。
\(OutRas = Values_product^{(1 / Weights_sum)}\)
示例
下图展示了将该公式应用于加权总和方法中使用的相同输入和权重的结果。
对于 InRas1，取左上角像元值 1 的权重次幂。 结果是 11.5 = 1。
对于 InRas2，权重使输入像元值 6.5 乘 2 次幂，得到的值为 42.25。
1 与 42.25 的乘积为 42.25。 权重总和为 1.5 + 2 = 3.5。
该地点的最终输出为 42.25(1 / 3.5) ≈ 2.91
可能的应用
该方法的应用包括：
栖息地适宜性指数：在栖息地建模中，水质、温度和光照可获得性等多个准则通过加权几何平均值组合，因此除非所有基本栖息地条件都有利，否则场址得分不高。
水产养殖场址适宜性与产量估计：在养殖场址评估中，若干环境质量准则通过加权几何平均值进行汇总，因此当任何关键环境条件不佳时，整体适宜性会急剧下降。
最大值
当输入栅格可以互相替代，并且您希望结果反映每个像元的最强优势或最高值而不是整体平衡时，使用叠加方法参数中的最大值选项。 当至少有一个加权输入值为高值时，像元会收到高输出值，即使其他加权输入值较低也是如此。
公式
对于每个输入像元，该工具会分配该位置的加权输入栅格中的最大值。
用于计算每个位置的加权输入值最大值的公式：
\(OutRas = Maximum{(Ras1 \times Weight1), (Ras2 \times Weight2), \ldots, (RasN \times WeightN)}\)
示例
将该公式应用于相同输入和相同权重后，将得到以下结果：
对于 InRas1，左上角像元值 1 乘以权重 1.5，得到值 1.5。 对于 InRas2，像元值 6.5 乘以权重 2，得到 13。
该方法返回两个加权值中的最大值，因此输出值为 13。
可能的应用
该方法的应用包括：
矿物勘探：在钴矿潜力制图中，使用最大值叠加法组合多个准则，如果任一指标强烈支持矿物潜力，则突出显示像元。
无线覆盖范围制图：在无线网络规划中，多个基站的信号强度栅格通过最大值叠加法组合，因此每个像元代表该位置的最强可用覆盖范围。
最小值
当您希望结果反映每个像元的最具限制因素时，使用叠加方法参数中的最小值选项。 即使其他加权输入值较高，像元也会接收加权输入栅格中的最低值。
公式
对于每个输入像元，该工具会分配该位置的加权输入栅格中的最小值。
用于计算每个位置的加权输入值最小值的公式如下：
\(OutRas = Minimum{(Ras1 \times Weight1), (Ras2 \times Weight2), \ldots, (RasN \times WeightN)}\)
示例
将该公式应用于相同输入和相同权重后，将得到以下结果：
InRas1 左上角像元值为 1，将其乘以权重 1.5，得到值 1.5。 对于 InRas2，像元值 6.5 乘以权重 2，得到 13。
该方法返回两个加权值中的最小值，因此输出值为 1.5。
可能的应用
该方法的应用包括：
栖息地适宜性：在栖息地建模中，食物和水资源可用性、土地利用类型以及人类干扰均被视为关键的限制因素。 它们通过最小值叠加法组合，因此如果任何基本栖息地条件不佳，像元评级较低。
通过多个子模型的光伏电站选址：根据太阳能资源适宜性、可及性和环境影响，创建了三个子模型适宜性地图。 由于太阳能资源被视为限制因素，因此将采用最小值方法获取最终适宜性，确保太阳能潜力不佳的位置的适宜性依然较低，即使其他条件有利也是如此。
加权叠加
当您希望每个准则以最终输出百分比的形式影响结果时，可以使用叠加方法参数中的加权叠加选项。 该选项的权重值必须以百分比值形式指定，且总和需要为 100。 为百分比参数值指定的每个值表示每个准则相对于其他准则对最终输出的影响程度。
组合结果随后按由自等级和至等级参数定义的评估范围重设等级，例如 0 和 1 或 1 和 10。 这确保输出栅格值保持在一致范围内，便于直接比较不同输入准则或加权设置生成的结果。
公式
对于每个位置，每个输入栅格中的对应像元值乘以百分比选项提供的值。 所有加权值相加。 然后，将该结果缩放至定义的输出范围。
每个位置的输出值计算如下
\(CombinedValue = (Ras1 \times Percent1) + (Ras2 \times Percent2) + \ldots + (RasN \times PercentN)\)
然后，使用以下公式重设加权总和输出的等级：
\(OutRas = {FromScale} + ({CombinedValue} - {CombinedValue}_{\min}) \cdot \large \frac {ToScale - FromScale}{CombinedValue_{\max} - CombinedValue_{\min}}\)
示例
应用该公式的结果如下。 在本例中，选择的输出等级为 1-10。
对于 InRas1 ，左上角的像元值 1 乘以小数百分比0.428，得到值 0.428。 对于 InRas2，像元值 6.5 乘以小数百分比 0.572，得到值 3.718。
这两个值的总和为 4.146。
该工具随后会对所有 9 个输入位置执行上述计算。 得到的最小值为 3.197，最大值为 7.112。
将这些值应用于公式，即可得到该位置的最终输出值，如下所示：
\(\begin{aligned}OutRas &= 1 + (4.146 - 3.1972) \cdot \frac{10 - 1}{7.1124 - 3.1972} \ &= 3.2\end{aligned}\)
可能的应用
由于该方法采用加法组合，其应用类似于加权总和，但权重以百分比形式表示，最终值保持在指定范围内。
有序加权平均
当您想强调高值准则到低值准则，或想探索结果对不同权衡和补偿水平的敏感性时，可以使用叠加方法参数中的有序加权平均选项
与对固定准则位置应用固定权重的方法不同，有序加权平均 (OWA) 会先将每个像元的加权准则值从高到低进行排序。 然后它对已排序值应用一套单独的顺序权重，以控制最佳、中间或最差准则的影响程度。
通过改变顺序权重，可将结果从类最小值行为（其中低准则值会极大地限制输出）转变为类最大值行为（其中高准则值影响最大）。 利用自定义顺序权重设置的功能，控制各准则间高值对低值的抵消程度。
使用某些权重设置可以近似不同叠加方法的结果。
如果为最高加权准则指定顺序权重 1，并为所有其他准则指定 0，OWA 的行为类似于最大值方法。
如果为最低加权准则指定顺序权重 1，并为所有其他准则指定 0，OWA 的行为类似于最小值方法。
如果为所有已排序值指定相等的顺序权重，OWA 的行为类似于加权总和方法，其中各个准则对结果的影响一致。
可通过两种方式指定顺序权重。 当顺序权重方法参数值设置为自定义选项时，可手动输入权重。 选择量词引导选项可自动获取权重。
对于量词引导选项，使用 Orness 值可控制顺序权重的形状。 Orness 描述了叠加分析的乐观程度。 值越高，对排序最高的加权输入栅格值影响越大。 这会产生类似于叠加方法参数的最大值选项的行为。 值越低，赋予排序最低的加权输入栅格值的影响力就越大。 这会产生类似于叠加方法参数的最小值选项的行为。
公式
对于每个输入栅格，将每个像元值乘以该输入的定义权重值。 接下来，针对每个像元位置，将加权值从高到低排序。 根据排序值乘以顺序权重，然后求和即可得到该像元的最终输出值。
首先，计算每个输入位置的加权输入值。
\(WeightedInput1 = Ras1 \times Weight1\)
\(WeightedInput2 = Ras2 \times Weight2\)
\(\ldots\)
\(WeightedInputN = RasN \times WeightN\)
接下来，将加权值从高到低排序。
\(Ranked_values = {Rank1(WeightedInput1), Rank2(WeightedInput2), \ldots, RankN(WeightedInputN)}\)
顺序权重列表将作为输入提供，或由工具生成。
\(List\ of\ weight\ values = {RankWeight1, RankWeight2, \ldots, RankWeightN}\)
顺序权重值乘以已排序加权值，然后求和即可得到该像元位置在最终输出栅格中的值。
\[ \begin{array}{l} OutRas = (RankWeight1 \times Rank1(WeightedInput1)) + (RankWeight2 \times Rank2(WeightedInput2)) \ \phantom{OutRas = {}} + \ldots + (RankWeightN \times RankN(WeightedInputN)) \end{array} $$ \]
示例
将此方法应用于示例输入，得到以下输出。
对于 InRas1，左上像元位置值乘以权重，结果为 1 x 1.5 = 1.5。 对于 InRas2 ，结果为 6.5 x 2 = 13
该位置的加权值按从高到低排序为 13 和 1.5。
将提供的顺序权重 0.8 和 0.2 应用于排序值。 对于 InRas2 ，结果为 13 x 0.8 = 10.4。 对于 InRas1，结果为 1.5 x 0.2 = 0.3。
这两个值的总和为 10.4 + 0.3 = 10.7。
可能的应用
该方法的应用包括：
综合农业规划：通过应用不同的顺序权重组合，可比较满足以下条件的产出适宜性图：
严格执行长期稳定生产的限制标准。
强调近期扩张的高潜力机会。
揭示了强调适度适用区域、避免极端化的平衡策略，这对风险规避型规划非常有用。
滑坡易发性制图：可以调整顺序权重，以控制滑坡因素（如坡度、降雨、地质和土地覆盖）之间允许的权衡程度。
这样可以比较满足以下条件的易发性制图：
应用严格的限制因素规则，几乎没有权衡。
采用更宽松的规则，允许主导因素发挥更大的影响力。
测试允许在各准则之间进行部分补偿的中间策略。
理想点求解 (TOPSIS)
当您想要一个平衡的折中解决方案时，可以使用叠加方法参数中的理想点求解 (TOPSIS) 选项。 该选项可识别既有利于接近理想条件又远离不良条件的位置。 与其他方法不同，该方法可以优化多个因素。
需要提供每个输入栅格的正理想点（优先级最高）和负理想点（优先级最低）。
它们不必是输入栅格的最小值和最大值。 例如，如果输入是坡向栅格，且首选朝南坡度，可以将 180 设置为正理想值，0 设置为负理想值。
它们不必在输入栅格值范围内。 例如，在创建空气质量指数时，一个重要准则是 PM2.5 浓度（越低越好）。 在数据集中，市内社区范围从 18 μg/m³ 开始。 如果使用 WHO 指导值 5 μg/m³ 作为理想值，该理想点低于输入栅格范围的最小值。 即使目前市内没有任何位置达到标准，TOPSIS 仍可将其用作参考来衡量各社区与理想水平的接近程度。
公式
对于 TOPSIS 算法，将以输入栅格的单位识别每个输入栅格的正理想点（优先级最高）和负理想点（参考性最低）。 每个输入栅格先通过将每个像元值除以该栅格中平方值总和的平方根进行标准化，从而将所有栅格置于通用等级下。 标准化栅格随后乘以其分配权重。 接下来，计算每个像元到正理想解和负理想解之间的距离。 最终输出由相对接近系数决定，该系数基于每个像元到正理想解和负理想解的距离计算得出。 通常，较高的值代表的像元优先级越高，因为它们相对接近正理想解，距离负理想解相对较远。
每个输入栅格和理想点值通过以下公式标准化，以比较来自不同栅格的值。
\(\large r_{ij} = \large \frac {\large x_{ij}}{\large \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2}}\)
其中：
\(x_{ij}\) 是输入栅格 \(j\) 中像元 \(i\) 的值。 它也代表该输入栅格 \(j\) 的理想点值。
\(n\) 是分析范围内的所有有效像元数。
\(r_{ij}\) 是输入栅格 \(j\) 中像元 \(i\) 的归一化值。
在每个像元上，TOPSIS 随后利用选定的距离法参数值计算像元与标准化正理想解和标准化负理想解的距离。 然后，将输入栅格权重应用于距离计算，使更重要的准则对正负距离的影像更大。
距离法参数提供了两个用于距离计算的选项：欧氏距离和曼哈顿距离。
对于欧氏距离，加权距离计算如下：
\(\large d_{i}^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} w_{j}(r_{ij} - r_{j}^{+})^{2}}\)
\(\large d_{i}^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} w_{j}(r_{ij} - r_{j}^{-})^{2}}\)
对于曼哈顿距离，加权距离计算如下：
\(\large d_{i}^{+} = \sum_{j=1}^{m} w_{j}\left|r_{ij} - r_{j}^{+}\right|\)
\(\large d_{i}^{-} = \sum_{j=1}^{m} w_{j}\left|r_{ij} - r_{j}^{-}\right|\)
其中：
\(d_{i}^{+}\) 是从像元 \(i\) 到标准化正理想解的加权距离。
\(d_{i}^{-}\) 是从像元 \(i\) 到标准化负理想解的加权距离。
\(r_{ij}\) 是输入栅格 \(j\) 中像元 \(i\) 的标准化值。
\(r_{j}^{+}\) 是栅格 \(j\) 的标准化正理想值。
\(r_{j}^{-}\) 是栅格 \(j\) 的标准化负理想值。
\(m\) 是输入栅格数。
最后，按照以下公式将这两个距离转换为一个接近度得分：
\(OutRas = \frac{\large d_i^{-}}{\large d_i^{+} + d_i^{-}}\)
示例
将此方法应用于示例输入，得到以下输出。
第一步是标准化像元值。 由于每个栅格具有一个 NoData 像元，这两个位置将在计算中排除。
对于栅格 1，标准化因子如下：
\(\sqrt{1^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 5^2 + 7^2 + 6^2} \approx 17.205\)
对于栅格 1 的左上角像元，归一化值为：
\(r_{1} = \frac {1}{17.205} = 0.058\)
对于栅格 2，标准化因子如下：
\(\sqrt{6.5^{2} + 4.5^{2} + 1.1^{2} + 5.7^{2} + 8.3^{2} + 1.6^{2} + 2.3^{2} + 2.9^{2}} \approx 13.467\)
对于栅格 2 的左上角像元，归一化值为：
\(r_{2} = \frac{6.5}{13.467} = 0.483\)
使用相同的因子标准化理想点值。
对于栅格 1，理想正值和负值分别为 9 和 1。
\(r_{1}^{+} = \frac{9}{17.205} = 0.523 \qquad r_{1}^{-} = \frac{1}{17.205} = 0.058\)
对于栅格 2，理想正值和负值分别为 10 和 1。
\(r_{2}^{+} = \frac{10}{13.467} = 0.742 \qquad r_{2}^{-} = \frac{1}{13.467} = 0.074\)
在应用权重的情况下计算到正理想值和负理想值的距离。
对于正理想距离：
\(d^{+} = \sqrt{1.5 \times (0.058 - 0.523)^2 + 2 \times (0.483 - 0.742)^2} = 0.678\)
对于负理想距离：
\(d^{-} = \sqrt{1.5 \times (0.058 - 0.058)^2 + 2 \times (0.483 - 0.074)^2} = 0.578\)
计算最终 TOPSIS 得分
\(Out_{cell} = \frac{0.578}{0.679 + 0.578} = 0.460\)
可能的应用
该方法的应用包括：
可持续城市发展：当您希望根据多个指标（如公共交通可达性、植被覆盖和污染暴露）识别最适合可持续城市发展的区域时，可以使用 TOPSIS。 该方法将每个位置与一套理想的最优条件和一套完全相反的最差条件进行比较。 更接近理想解并远离负理想解的区域的适宜性值更高，有助于规划者识别更支持可持续发展目标的位置。
固体废物处置场适宜性：使用 TOPSIS 结合多个准则，确定固体废物处置地点。 有利条件（环境更安全、技术可行且不太可能影响邻近社区的地点）定义正理想解，而不利条件（靠近定居点或水体的位置，或地形/土地利用不适宜的地点）定义负理想解。 TOPSIS 有助于识别同时最接近理想处置条件，又最远离不适宜条件的地点。