体积百分位等值线工作原理
需具备 Spatial Analyst 许可方可使用。
体积百分位等值线工具通过从最大值开始向下累积值 × 像元面积，生成多边形，以包络用户所选的栅格总体量的百分比。
百分位为 \(p\) 的每个输出多边形均是最小的可能覆盖区，其像元总计至少包含栅格总体体积的百分之 \(p\)。 当指定多个百分位值时，输出多边形就会嵌套。 最内侧（最小）多边形对应于最低的 \(p\) 值，并捕捉到数值最高的区域。 最外侧（最大）多边形对应于最高的 \(p\) 值，并展示包含该现象大部分区域的更宽的包络矩形。 这些多边形区域表示的是物理覆盖区；它不等于体积。 这是百分之 \(p\) 的体积所在的区域。
何时使用
当问题聚焦于数量时，比如包含 \(p\)% 的总体量的最小区域位置，应使用体积百分位等值线工具。 以下为示例：
描绘犯罪密度栅格中前 50% 的核心事件
查找某州或县内 90% 的预期风暴损失区
描绘 95% 的模拟疫情爆发强度区
描绘 95% 的野生动物活动范围
与其他等值线工具对比
等值线和等值线列表工具按照您指定的数值间隔创建等值线。 当要提取的确切值已知时（例如，每 5 米或具体每 10 米，25 米，和 35 米），请使用这些工具。
与这些工具相比，体积百分位等值线工具基于栅格值和覆盖区的累积体积创建多边形等值线。
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特征 |
等值线工具 |
等值线列表工具 |
值百分位等值线工具 |
体积百分位等值线工具 |
|---|---|---|---|---|
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您所指定的内容： |
固定间隔或基准（规则间距） |
固定值列表（不规则间距） |
一个或多个百分位值 |
一个或多个百分位值 |
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输出： |
面或折线输出 |
折线输出 |
包围 \(p\)% 的像元 |
包围 \(p\)% 的总体体积 |
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百分位考虑： |
否 |
否 |
是 |
是 |
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量级（体积）考虑： |
否 |
否 |
否 |
是 |
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输出几何： |
折线和面 |
折线 |
面 |
面 |
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多值作为输入： |
是（使用间隔的许多线） |
是（使用列表的许多线） |
是（多个百分位输入） |
是（多个百分位输入） |
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规则或不规则的间距： |
规则（间隔） |
不规则（明确列表） |
不规则 |
不规则 |
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嵌套（重叠）行为： |
N/A |
N/A |
嵌套面 |
嵌套面 |
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报告的面积单位： |
与栅格相同 |
不适用 |
平面地图单位2 或测地线 m2 |
平面地图单位2 或测地线 m2 |
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回答主要问题： |
按此间隔显示这些值的等值线 |
显示这些指定值处的等值线 |
按值划分前 \(p\)% 的区域在哪里 |
\(p\)% 的总体量集中在哪里 |
关键概念
此部分定义了体积百分位等值线工具所用的核心概念。 这涵盖了累积像元体积的计算方法，目标体积和阈值的选择方法。 示例工作流应用了这些概念。
像元体积
每个像元都对应于一小部分量（不论栅格表示什么）。 将每个像元想象成一个盒子。 其高度就是栅格值，其覆盖区就是每个像元的地面面积。 因此，体积就是高度 x 覆盖区。
对于像元 \(i\)：
\(v_i = d_i × A_i\)
其中：
\(d_i\) 是该像元的栅格值
\(A_i\) 是使用所选方法参数的设置计算的像元面积
默认情况下，该工具在计算面积时使用平面选项。
总体积
使用以下方程计算栅格的总体积 ($V_)：
其中：
\(S\) 为有效像元的集合。
\(v_i\) 为该像元的体积。
\(d_i\) 是该像元的栅格值。
\(A_i\) 是使用所选方法参数的设置计算的像元面积。
默认情况下，该工具在计算面积时使用平面选项。
目标体积
对于指定百分位 \(p\) ∈ (0,100)，该工具用下列方程计算体积：
其中：
\(p\) 是百分比值。
\(V_p\) 是指定百分位的目标体积。
\(V_{total}\) 是栅格中所有值的总体积。
这是将从输入栅格提取的现象量。 例如，所有犯罪的 50%，总概率的 90% 或灾害影响区域的 75%。
阈值和体积
该工具按从高到低的顺序对像元进行排序，并找出一个最小数值，这样可确保所有像元至少达到此值即可累积到目标体积。 因此，阈值的定义如下：
其中：
\(T_p\) 是达到或超过目标的首个等级所对应的值。
\(t\) 是工具在搜索时会考虑到的候选项阈值。
\(d_i\) 是该像元的栅格值。
\(A_i\) 是使用所选方法参数的设置计算的像元面积。
\(i:di ≥ t\) 是若分界值为 \(i\) 时，该工具将会保留的像元集。
是 \(t\) 或其以上的像元所贡献的累积体积。\(V_p\) 是该百分位值的体积。
累积体积
如果 \(d_1 ≥ d_2 ≥ ... ≥ d_n\) 是所有像元值的降序排列，则累积体积将按以下方式确定：
之后，达到或超过目标 \(T_p\) 的首个等级的值按以下方式确定：
\(T_p = d_k{^*}\)
其中：
\(k\)* = min{\(k\):\(C_k\) ≥ \(V_p\) } 是达到或超过目标的首个等级所对应的值
工作流示例
假设一个栅格有 9 个像元，而且每个像元都有大小为 1 的像元面积 (\(A_i\) = 1)。 以下是栅格值：
|
行 1： |
8 |
2 |
1 |
|
行 2： |
5 |
4 |
3 |
|
行 3： |
7 |
6 |
0 |
该值列表是：{8, 2, 1, 5, 4, 3, 7, 6, 0}。
该栅格的总体体积是：
\(V_{total}\) = (8 + 2 + 1 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 +0) × 1 = 36.
现在可以计算该体积百分位。 例如，下面展示了这些值的 50%，75% 和 90%：
|
\(p\) = 50 percent: |
\(V_{50}\) = 0.50 × 36 = 18 |
|
\(p\) = 75 percent: |
\(V_{75}\) = 0.75 × 36 = 27 |
|
\(p\) = 90 percent: |
\(V_{90}\) = 0.90 × 36 = 32.4 |
通过按降序（密度最大的排在第一）对像元值进行排序，并累积值 x 面积，则可计算每个值的累积体积 \(C_k\)。
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\(k\) |
值， \(d_{(k)}\) |
\(C_k\) |
|---|---|---|
|
1 |
8 |
8 |
|
2 |
7 |
15 |
|
3 |
6 |
21 |
|
4 |
5 |
26 |
|
5 |
4 |
30 |
|
6 |
3 |
33 |
|
7 |
2 |
35 |
|
8 |
1 |
36 |
|
9 |
0 |
36 |
计算来自示例数据的第 50 个百分位的体积等值线，该百分位的目标体积是：18 (\(V_{50}\) = 18)。 基于上表，\(k\) = 2 的累积体积是 15。 这小于目标体积。
\(C_3\) = 15 (< 18)
在 \(k\) = 3 时，累积体积是 21。 这大于目标体积。 因此，这是阈值体积，而且 \(k\) = 3 的值将是阈值。
\(C_3\) = 21 (> 18) => \(k^*\) = 3
该点或该点以上的所有值都将包含在体积等值线中。
处理负值
按照定义，体积百分位等值线工具将按照从最高值往下计算值 x 面积，直到该累积体积达到目标 \(V_p\)。 这假设在添加像元时累积曲线上升。
如果栅格的所有值均大于或等于 0（密度表面通常如此），该工具将获取这些值，并按降序对其进行排序，随后计算累积体积，直到达到目标体积 (\(V_p\))。 这是标准应用场景。
如果输入表面栅格值全都是负值（比如深度），则添加负值作为最大值（比如 -1）实际上会使带符号的总和减少。 体积百分位等值线工具使用两种方式处理负值，从而使输出等值线仍然表示该现象密度最大的核心。
该工具处理负值的第一种方式就是通过忽略负值参数。 如果选中该参数，则工具在体积计算时会忽略负值，并通过仅考虑正值来提取输出等值线。 否则，该工具会采用“符号翻转法”将负值纳入计算，以计算体积。
确定具有相同值的阈值
输入表面栅格可能具有多个数值相同的像元。 在这种情况下，累积体积的计算可能会急剧增加。 因此，最终目标体积可能正处在这些急剧增加的某一段。 这意味着不可能忽略其他像元，而只将该值绑定的那部分像元包含在内。 该工具包含了所有这些值。 该工具识别了累积总和首次达到目标的情况，并将该阈值设为平台值。 随后，它会选择原始计算的阈值或高于该阈值的所有像元。 因此，最终体积可能会超过原始计算阈值。
该工具确保了结果绝不会低于所需占比。 然而，由于它选择了阈值处所有值相同的像元，在这些情况下，输出等值线可能会略微超过该百分比。 相邻百分位（比如 88% 或 90%）如果全都落在同一个平台上，甚至可能会产生相同的输出等值线。
可能的应用
此工具一些潜在的应用包括以下这些：
在生态研究中，使用物种观察密度栅格，体积等值线可描绘动物的活动范围（95% 的体积等值线）或核心区域（50% 的体积等值线）。
对于犯罪事件数据，使用核密度分析工具创建密度表面。 然后使用体积百分位等值线工具，描绘包含更多预期犯罪的最小覆盖区。 这可支持巡逻警力分配与犯罪预防战略规划。
对于野火事件数据，使用核密度分析工具创建密度表面。 在燃烧概率栅格上，使用体积百分位等值线工具识别 95% 的体积等值线。 这将展示几乎所有预期燃烧集中的地点。 这可用于野火季准备工作，响应规划，以及确定预设燃烧的位置。
在公共健康领域，使用病人的位置密度表面，体积百分位等值线工具可用于测量健康护理服务的可及性或疫情爆发情况。 10%-20% 的体积等值线表示包含最多预期案例的紧凑区域。
其他资源
有关详细信息，请参阅以下内容：
Gibin, M., Longley, P., and Atkinson, P. (2007). "Kernel density estimation and percent volume contours in general practice catchment area analysis in urban areas." In Proceedings of the GIScience Research UK (GISRUK) Conference, Maynooth, Ireland.
Lewis, D. (2015). "Kernel density estimation and percent volume contours." In C. Brunsdon & A. Singleton (Eds.) Geocomputation: A Practical Primer, 169-184. SAGE Publications.
Kie, J. G., Matthiopoulos, J., Fieberg, J., Powell, R. A., Cagnacci, F., Mitchell, M. S., and Moorcroft, P. R. (2010). "The home-range concept: are traditional estimators still relevant with modern telemetry technology?". Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 365(1550), 2221-2231.