Fonctionnement de l’outil Paramètres de surface
Disponible avec une licence Spatial Analyst.
Disponible avec une licence 3D Analyst.
L’outil Surface Parameters (Paramètres de surface) détermine les paramètres d’une surface raster tels que l’exposition, la pente et la courbure.
Exposition
Le paramètre de surface Aspect (Exposition) identifie la direction dans laquelle la pente descendante est orientée. La valeur de chaque cellule du raster en sortie indique la direction de boussole dans laquelle la surface est orientée à cet emplacement. La mesure est prise dans le sens horaire en degrés de 0 (plein nord) à 360 (plein nord également), formant un cercle complet. La valeur -1 est attribuée aux zones plates qui ne présentent pas de pente descendante.
Les images ci-après illustrent un jeu de données d’élévation en entrée et le raster d’exposition en sortie.
Applications de l’exposition
Le paramètre de surface Aspect (Exposition) vous permet de réaliser les opérations suivantes :
Détecter toutes les pentes d’une montagne qui font face au nord dans le cadre d’une recherche des pentes les plus adaptées pour des pistes de ski.
Calculer l’ensoleillement de chaque localisation d’une région dans le cadre d’une étude visant à déterminer la diversité de la vie sur chaque site.
Détecter toutes les pentes exposées au sud dans une région montagneuse pour identifier les localisations où la neige est susceptible de fondre plus rapidement dans le cadre d’une étude visant à connaître les localisations résidentielles qui seront probablement touchées en premier par le ruissellement.
Calcul de l’exposition géodésique
L’exposition géodésique à une localisation est la direction angulaire α de la surface de la pente descendante par rapport au nord, mesurée sur un plan tangent à la surface de l’ellipsoïde (plan bleu dans l’illustration ci-dessous).
Pour le calcul de l’exposition à chaque emplacement, une surface quadratique ou biquadratique est adaptée aux cellules de voisinage grâce à la méthode des moindres carrés (LSM). Une normale à la surface est calculée à la localisation de la cellule à partir de cette surface. Au même endroit, une normale à l’ellipsoïde perpendiculaire au plan tangent de la surface ellipsoïdale est également calculée.
Comme le plan tangent de la surface ellipsoïdale est considéré comme le plan de référence, la normale à la surface est projetée sur le plan. Finalement, l’exposition géodésique se calcule en mesurant l’angle α dans le sens horaire entre le nord et la projection de la normale à la surface (reportez-vous à l’illustration ci-dessus).
Pente
Le paramètre de surface Slope (Pente) correspond à la déclivité de chaque cellule d’une surface raster. Plus la valeur de la pente est faible, plus le terrain est plat ; plus la valeur de la pente est élevée, plus le terrain est pentu.
Le raster de pente en sortie peut être calculé dans deux unités : degrés ou pourcentage (pourcentage d’élévation). Pour mieux comprendre le pourcentage d’élévation, considérez-le comme la hauteur calculée divisée par le parcours, multipliée par 100. Consultez le triangle B ci-dessous. Lorsque l’angle est de 45 degrés, la hauteur est égale au parcours et le pourcentage d’élévation est de 100 pour cent. Lorsque l’angle de pente se rapproche de la verticale (90 degrés), comme dans le triangle C, le pourcentage d’élévation se rapproche de l’infini.
La pente est généralement appliquée à un jeu de données d’élévation, comme le montrent les images ci-dessous. Les pentes les plus raides apparaissent sur le raster de pente en sortie sous forme de couleur marron foncé.
L’outil peut également être utilisé avec d’autres types de données continues, telles que des données de population, afin d’identifier d’importantes variations de valeur.
Calculs de pente géodésique
La pente géodésique est l’angle formé entre la surface topographique et la surface ellipsoïdale. Toute surface parallèle à la surface ellipsoïdale a une pente de 0. Pour le calcul de la pente à chaque localisation, une surface quadratique ou biquadratique est ajustée aux cellules de voisinage grâce à la méthode des moindres carrés (LSM). Une normale à la surface est calculée à la localisation de la cellule à partir de cette surface. Au même endroit, une normale à l’ellipsoïde perpendiculaire au plan tangent de la surface ellipsoïdale est également calculée. La pente, en degrés, est calculée à partir de l’angle entre la normale à l’ellipsoïde et la normale à la surface topographique. Cet angle est identique entre la surface topographique et la surface ellipsoïdale.
Vue d’ensemble de la courbure des surfaces
La courbure est un ensemble de types de paramètres de surface utilisés pour décrire la forme d’une surface, généralement le long d’une ligne à la surface, créée par l’intersection d’un plan et de la surface. Théoriquement, la courbure géométrique trouve le cercle le mieux adapté (cercle osculateur) pour s’approcher de la forme de la courbe en tout point. La courbe est la réciproque du rayon de ce cercle (1/r). Une ligne plus droite s’adapte mieux à un cercle plus grand et produit une courbure plus petite, et une ligne courbe plus étroite convient davantage pour un cercle plus petit produisant une courbure plus importante (Crane, 2018).
Courbure longitudinale (ligne de pente normale)
Le paramètre de surface Profile (normal slope line) curvature (Courbure longitudinale [ligne de pente normale]) mesure la courbure normale géométrique le long de la ligne de pente. Parfois appelée « courbure longitudinale », elle peut être représentée sous la forme d’une section transversale verticale (profil) à travers la surface. Comme illustré ci-dessous, le plan vertical coupe la surface le long de la ligne orange et, s’il était découpé, il apparaîtrait comme une section transversale de la surface.
Ce plan est défini par deux vecteurs : la flèche jaune spécifie la direction de l’inclinaison (flèche de ligne de pente) et la flèche rouge indique la normale à la surface. C’est la combinaison de ces deux vecteurs rouge et jaune qui définit le plan orange et sa ligne d’intersection orange avec la surface. La courbure longitudinale est calculée le long de la ligne orange (ligne de pente normale) dans le plan orange.
La terminologie de « ligne de pente normale » de Minár et al (2020) est utilisée ici, afin de réduire le risque d’ambiguïté et de confusion avec la terminologie antérieure.
Cette courbure est généralement appliquée pour caractériser l’accélération et la décélération de l’écoulement sur la surface par la force de gravité. À une vitesse plus élevée, l’eau peut transporter et déplacer des quantités plus importantes de matériaux. Les zones d’accélération deviennent des zones d’érosion et les zones de décélération deviennent des zones de dépôt.
Dans l’image ci-dessous, les zones de courbure longitudinale (ligne de pente normale) fortement convexe au niveau de la crête du cône apparaissent en violet. Les zones de courbure longitudinale (ligne de pente normale) fortement concave à la base du cône sont affichées en orange. Les zones avec de faibles valeurs de courbure sont transparentes.
Les résultats de cette courbure sont différents de ceux de la courbure longitudinale Profile (Profil) obtenue avec l’outil Courbure antérieur. Les différences entre la courbure longitudinale et la courbure longitudinale (ligne de pente) sont expliquées par la suite.
La formule permettant de calculer la courbure longitudinale (ligne de pente normale) est la suivante :
où :
\(K_P\) est la courbure (de ligne de pente normale) longitudinale
\(z = f(x,y)\)
Courbure tangentielle (isoligne normale)
Le paramètre de surface Tangential (normal contour) curvature (Courbure [d’isoligne normale] tangentielle) mesure la courbure normale géométrique perpendiculaire à la ligne de pente, tangente à l’isoligne. Il est appelé courbure tangentielle car il mesure la courbure tangente à l’isoligne. Il est décrit comme une « isoligne normale » (Minár et al., 2020), car le plan de coupe violet qui crée la ligne violette le long de laquelle la courbure est calculée est défini par le vecteur d’isoligne bleu et le vecteur de normale à la surface rouge.
La courbure (d’isoligne normale) tangentielle est généralement appliquée pour caractériser la convergence et la divergence topographiques de l’écoulement sur la surface.
Dans l’image ci-dessous, les zones de courbure (d’isoligne normale) tangentielle fortement convexe au niveau de la crête du cône et de la crête en face de vous, apparaissent en bleu. Ce sont des zones où l’écoulement diverge. Les zones de courbure (d’isoligne normale) tangentielle fortement concave à l’intérieur du cône désignent l’écoulement convergeant en rouge. Les zones avec de faibles valeurs de courbure sont transparentes.
La formule permettant de calculer la courbure (d’isoligne normale) tangentielle est la suivante :
où :
\(K_T\) est la courbure (d’isoligne normale) tangentielle
\(z = f(x,y)\)
Courbure (d’isoligne projetée) transversale
Le paramètre de surface Plan (projected contour) curvature (Courbure [d’isoligne projetée] transversale) permet de mesurer la courbure le long des isolignes. Elle est parfois appelée « courbure d’isoligne » et « courbure horizontale ». La courbure d’isoligne projetée est mesurée le long de l’isoligne en bleu, à l’intersection du plan horizontal et de la surface.
La formule permettant de calculer la courbure transversale (isoligne projetée) est la suivante :
où :
\(K_{PC}\) est la courbure (d’isoligne projetée) transversale
\(z = f(x,y)\)
L’image ci-dessous illustre la différence entre la courbure (d’isoligne normale) tangentielle, mesurée le long de la ligne violette, et la courbure (d’isoligne projetée) transversale, mesurée le long de l’isoligne bleue.
Torsion géodésique des isolignes
Le paramètre de surface Contour geodesic torsion (Torsion géodésique d’isoligne) permet de mesurer la vitesse de variation de l’angle de pente le long des isolignes.
La formule de calcul de la torsion géodésique d’isoligne est la suivante :
où :
\(τ\) est la torsion géodésique d’isoligne
\(z = f(x,y)\)
Courbure moyenne
Le paramètre de surface Mean curvature (Courbure moyenne) mesure la courbure globale de la surface. Elle est calculée comme étant la moyenne des courbures maximale et minimale. Ce paramètre est aussi mathématiquement équivalent à la moyenne des courbures longitudinale (ligne de pente normale) et tangentielle (isoligne normale). Dans l’image ci-dessous, le plan de coupe longitudinal (ligne de pente normale) (orange) et le plan de coupe tangentiel (isoligne normale) (violet) sont représentés.
Les courbures longitudinale (ligne de pente normale) et tangentielle (isoligne normale) mesurent chacune la convexité et la concavité dans une direction spécifique. La courbure moyenne décrit, quant à elle, la convexité ou la concavité intrinsèque de la surface, indépendamment de la direction ou de l’influence de la gravité. Son signe (positif ou négatif) n’est pas un indicateur définitif de la convexité ou de la concavité, excepté aux valeurs extrêmes, puisqu’une surface peut être concave dans une direction mais également convexe dans une autre. Des valeurs positives élevées indiquent des zones de dénudation maximale, et des valeurs négatives élevées indiquent des zones d’accumulation maximale (Minár et al., 2020).
La formule permettant de calculer la courbure moyenne est la suivante :
où :
\(K_M\) est la courbure moyenne
\(z = f(x,y)\)
Courbure gaussienne
Le paramètre de surface Gaussian curvature (Courbure gaussienne) mesure la courbure générale d’une surface. Elle est calculée comme le produit des courbures maximale et minimale, et peut avoir des valeurs positives et négatives. Des valeurs positives indiquent que la surface est convexe à cette cellule, et des valeurs négatives qu’elle est concave. Une valeur nulle signifie que la surface est plane.
La formule permettant de calculer la courbure gaussienne est la suivante :
où :
\(K_G\) est la courbure gaussienne
\(z = f(x,y)\)
Courbure de Casorati
Le paramètre de surface Casorati curvature (Courbure de Casorati) mesure la courbure générale de la surface. Elle peut être égale à zéro ou à un autre nombre positif quelconque. Des valeurs positives élevées indiquent des zones de courbe brusque dans plusieurs directions.
La formule permettant de calculer la courbure de Casorati est la suivante :
où :
\(K_C\) est la courbure de Casorati
\(z = f(x,y)\)
Types de courbures de base et combinatoires
La courbure (d’isoligne normale) tangentielle, la courbure (de ligne de pente normale) longitudinale et la torsion géodésique d’isoligne sont considérées comme des types de courbures de base, car les autres courbures peuvent être des combinaisons de celles-ci. En adoptant la terminologie de Minár et al (2020), elles sont décrites comme étant le trio de base.
Outre les expressions indiquées ci-dessus pour la courbure moyenne, la courbure gaussienne et la courbure de Casorati, ces courbures peuvent également être calculées comme étant une combinaison du trio de base.
La formule permettant de calculer la courbure moyenne est la suivante :
où :
\(K_M\) est la courbure moyenne
\(K_T\) est la courbure (d’isoligne normale) tangentielle
\(K_P\) est la courbure (de ligne de pente normale) longitudinale
\(z = f(x,y)\)
La formule permettant de calculer la courbure gaussienne est la suivante :
où :
\(K_G\) est la courbure gaussienne
\(K_T\) est la courbure (d’isoligne normale) tangentielle
\(K_P\) est la courbure (de ligne de pente normale) longitudinale
\(τ\) est la torsion géodésique d’isoligne
\(z = f(x,y)\)
La formule permettant de calculer la courbure de Casorati est la suivante :
où :
\(K_C\) est la courbure de Casorati
\(K_M\) est la courbure moyenne
\(K_G\) est la courbure gaussienne
\(z = f(x,y)\)
Comparaison avec les anciens algorithmes de l’outil Courbure
L’outil Paramètres de surface utilise des algorithmes de courbure différents de ceux de l’outil Courbure, ainsi que des mathématiques géodésiques dans ses calculs. Les résultats de ces deux outils ne sont donc pas directement comparables. Les types de courbures longitudinale (ligne de pente normale) et tangentielle (isoligne normale) de l’outil Paramètres de surface sont des courbures géométriques vraies (Minár et al. 2020). La courbure moyenne de l’outil Paramètres de surface est la moyenne des courbures maximale et minimale à ce point. Les types Profile (Longitudinal) et Planform (Planiforme) de l’outil Courbure sont des dérivées directionnelles, qui ne mesurent pas réellement la courbure géométrique de la surface à un endroit donné (Zevenbergen et Thorne 1987). Le signe (positif ou négatif) de la courbure longitudinale (ligne de pente normale) de l’outil Paramètres de surface est l’opposé de la courbure longitudinale de l’outil Courbure. L’outil Paramètres de surface calcule dans l’espace géodésique, tandis que l’outil Courbure utilise les coordonnées planaires et les mathématiques. L’outil Paramètres de surface peut s’adapter à une surface quadratique ou biquadratique, alors que l’outil Courbure ne prend en charge que les surfaces biquadratiques.
Distance de voisinage
La valeur Neighborhood distance (Distance de voisinage) représente la distance sur la carte entre le centre de la cellule de traitement actuelle et le centre d’un voisin orthogonal. Une distance de voisinage plus faible capture une plus grande variabilité locale dans le paysage, qui caractérise les entités de paysage plus petites. Il peut être préférable d’utiliser une distance de voisinage plus grande pour des données d’élévation à résolution plus élevée en raison des erreurs à petite échelle (bruit) dans les données qui ne reflètent pas les processus topographiques d’intérêt, ou parce que la topographie d’intérêt est davantage reconnaissable à de plus grandes échelles.
L’exemple ci-dessous a utilisé un modèle numérique de surface (MNS) d’une résolution de 5 mètres qui comporte un bruit significatif, des artefacts de rayures apparaissant dans la courbure (de ligne de pente normale) longitudinale finale. La première image a utilisé la fenêtre par défaut de 3 x 3 cellules ou une distance de voisinage de 5 mètres, la deuxième image a utilisé une fenêtre de 9 x 9 cellules ou une distance de voisinage de 20 mètres et la troisième image a fait appel à une fenêtre de 15 x 15 cellules ou une distance de voisinage de 35 mètres. Dans cet exemple, avec l’augmentation de la distance du voisinage, les entités principales ou les plus significatives du paysage sont plus nettes, tandis que le bruit et les artefacts de rayures sont moins visibles. Même si une grande distance de voisinage conduit toujours à moins de bruit, la distance la plus adaptée dépend avant tout de la taille de cellule des données et de la taille des entités topographiques qui sont importantes dans le cadre de votre application.
La plus petite distance de voisinage est égale à la taille de cellule du raster en entrée. La plus grande distance du voisinage est égale à sept fois la taille de cellule, ce qui donne une fenêtre de 15 x 15 cellules. Toute distance spécifiée supérieure à sept fois la taille de cellule aura toujours pour résultat une fenêtre de 15 x 15 cellules.
Si la distance de voisinage spécifiée ne produit pas d’intervalle de la taille de cellule ou génère un intervalle de la taille de cellule impair, elle est arrondie à l’intervalle supérieur suivant de la taille de cellule. Par exemple, dans l’illustration ci-dessus, si une distance de voisinage de 25 mètres a été spécifiée, elle est arrondie à l’intervalle supérieur suivant de la taille de cellule, à savoir 30 mètres (trois fois la taille de cellule), ce qui produit une fenêtre de 7 x 7 cellules.
Si les données d’élévation ont une résolution spatiale beaucoup plus fine qu’il n’est nécessaire pour l’analyse des reliefs d’intérêt, une alternative à l’option de la fenêtre de voisinage consiste à rééchantillonner ou à agréger les données selon une taille de cellule plus élevée, qui convient davantage à l’application.
Les calculs des paramètres de surface sont sensibles à la taille de cellule et à la distance du voisinage. Wilson (2018) et Minár et al (2020) ont publié des synthèses efficaces et à jour des nombreuses études sur ce sujet.
Voisinage adaptatif
Lorsqu’il est activé, le paramètre Use adaptive neighborhood (Utiliser le voisinage adaptatif) modifie la distance de voisinage (taille de fenêtre ou surface) utilisée pour calculer le paramètre de surface, afin de mieux saisir les variations pertinentes du paysage. L’outil détermine automatiquement la taille de fenêtre appropriée en calculant l’écart local par rapport à l’élévation moyenne (DEV) (Wilson and Gallant, 2000) en fonction des valeurs de toutes les cellules du voisinage. L’outil essaie d’utiliser la taille de fenêtre la plus grande possible tout en minimisant la variabilité de la surface (James et al., 2014). La plus grande taille de fenêtre utilisée est spécifiée dans le paramètre Neighborhood distance (Distance de voisinage).
Lorsque le paramètre de surface est calculé avec un voisinage fixe, toutes les valeurs des cellules dans le voisinage sont utilisées. Lorsque le paramètre de surface est calculé avec un voisinage adaptatif, seules neuf cellules (les cellules orthogonales et diagonales extérieures, ainsi que la cellule de traitement du centre) du voisinage sont utilisées.
Le voisinage adaptatif est particulièrement utile pour analyser, à partir d’un MNE haute résolution, un paysage présentant des entités de terrain de taille très variable, telles que des zones très vallonnées avec des petits ruisseaux ou cours d’eau. Dans une telle situation, il est possible d’utiliser une petite distance de voisinage, telle qu’un mètre, pour les ravines des ruisseaux et une distance de voisinage plus importante de 10 ou 15 mètres pour les collines.
Dans l’illustration ci-dessous, un voisinage plus petit est approprié pour le ruisseau et le bord de la falaise, un voisinage plus grand convient pour la transition de la colline à la plaine, et un voisinage encore plus grand est adapté au plateau homogène presque plat.
Effet de bord de la distance de voisinage
Les cellules autour du bord extérieur de la sortie prennent la valeur NoData lorsqu’il n’existe pas suffisamment d’informations disponibles pour le calcul.
Lorsque vous utilisez l’option du voisinage adaptatif, l’étendue du raster en sortie est réduite d’une cellule autour de son bord extérieur.
Si vous utilisez une distance de voisinage fixe supérieure à la taille de cellule en entrée, l’étendue du raster en sortie est réduite selon la distance de voisinage utilisée. La réduction peut être calculée comme suit : (largeur de fenêtre en pixels - 1) / 2
Par exemple, si la distance de voisinage génère une fenêtre de 7 x 7 cellules, le raster en sortie est réduit autour de son bord extérieur de trois cellules.
Quadratique et biquadratique
Deux types de surfaces locales peuvent s’adapter à la fenêtre de voisinage : quadratique et biquadratique. Le type par défaut est la surface quadratique, qui est recommandée pour la plupart des données et applications.
La surface quadratique est une adaptation selon les moindres carrés des points ; elle ne passe pas exactement par tous les points. Puisqu’elle ne passe pas exactement par tous les points, la surface quadratique a pour effet de minimiser l’impact des données de surface bruyantes (par exemple, une surface lidar haute résolution). Cela permet ainsi d’obtenir des résultats plus représentatifs pour tous les paramètres de surface, ce qui est particulièrement important dans le calcul d’une courbure.
La surface quadratique doit être utilisée lorsque vous spécifiez une taille de voisinage supérieure à la taille de cellule et que vous utilisez l’option de voisinage adaptatif.
La surface biquadratique correspond exactement aux données des cellules de voisinage. Cette option convient à une surface en entrée très précise, sans bruit aléatoire. Si la distance de voisinage est supérieure à la taille de cellule raster en entrée, les avantages en termes de précision liés au type de surface biquadratique sont perdus. Il est donc nécessaire de conserver la valeur par défaut (égale à la taille de cellule) de la distance de voisinage.
Transformation de coordonnées géodésiques
L’outil Paramètres de surface effectue ses calculs dans un système de coordonnées 3D géocentriques, également appelé système de coordonnées géocentriques à axes fixes (ECEF), en considérant la forme de la Terre comme un ellipsoïde. Le résultat du calcul n’est pas affecté par la façon dont le jeu de données est projeté. Ce dernier utilise les unités Z du raster en entrée si elles sont définies dans la référence spatiale. Si la référence spatiale de l’entrée ne définit pas les unités Z, vous devez les définir à l’aide du paramètre d’unité Z.
Le système ECEF est un système de coordonnées cartésiennes 3D fondé sur la règle de la main droite avec le centre de la Terre comme origine, où toute localisation est représentée par les coordonnées x, y et z. La figure ci-dessous donne un exemple de localisation cible T exprimée avec des coordonnées géocentriques.
Le raster de surface est transformé du système de coordonnées en entrée en un système de coordonnées géocentriques 3D.
Le calcul géodésique utilise une coordonnée X, Y, Z qui est calculée en fonction de ses coordonnées géodésiques (latitude \(φ\), longitude \(λ\), hauteur \(h\)). Si le système de coordonnées du raster de surface en entrée est un système de coordonnées projetées (SCP), le raster est d’abord re-projeté dans un système de coordonnées géographiques (SCG) où chaque localisation possède une coordonnée géodésique. Il est ensuite transformé en système de coordonnées ECEF. La hauteur \(h\) (valeur z) est la hauteur ellipsoïdale par rapport à la surface ellipsoïdale. Reportez-vous aux illustrations ci-dessous.
Pour effectuer la transformation en coordonnées ECEF à partir d’une coordonnée géodésique (latitude \(φ\), longitude \(λ\), hauteur \(h\)), utilisez les formules suivantes :
\(X = (N(φ) + h) * \cos(φ) * \cos(λ)\)
\(Y = (N(φ) + h) * \cos(φ) * \sin(λ)\)
\(Z = (b^2 / a^2 * N(φ) + h) * \sin(φ)\)
où :
\(N(φ) = a^2 / √(a^2 * \cos(φ)^2 + b^2 * \sin(φ)^2)\)
\(φ\) est la latitude
\(λ\) est la longitude
\(h\) est la hauteur ellipsoïdale
\(a\) est le grand axe de l’ellipsoïde
\(b\) est le petit axe de l’ellipsoïde
La hauteur ellipsoïdale h est exprimée en mètres dans les formules ci-dessus. Si l’unité z du raster en entrée est spécifiée dans n’importe quelle autre unité, elle est transformée en mètres.
Lecture recommandée
Pour une meilleure compréhension des méthodes d’analyse de surface et de leurs applications, consultez les références ci-dessous. De plus, Hengl et Reuter (2008), ainsi que Wilson (2018) ont répertorié ces techniques d’analyse de terrain et de nombreuses autres, ainsi que leurs applications. Minár et al (2020) a publié une synthèse complète et claire des travaux préalablement effectués sur les courbures de la surface terrestre en les comparant et en définissant de nombreux types de courbures.
Bibliographie
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James D.E., M.D. Tomer, S.A. Porter. 2014. Trans-scalar landform segmentation from high-resolution digital elevation models. Affiche présentée à la conférence annuelle des utilisateurs ESRI en juillet 2014 à San Diego (Californie) aux États-Unis.
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Marcin Ligas et Piotr Banasik, 2011. Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations (GEODESY AND CARTOGRAPHY), Vol. 60, No 2, 2011, pp. 145-159
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