多基準オーバーレイ ツールの仕組み
多基準オーバーレイ ツールは、複数の多基準意思決定分析 (MCDA) オーバーレイ方法を使用し、複数の入力ラスターを単一の出力ラスターに統合します。 MCDA は、サイト選択、適合性モデリング、リスクのマッピング、計画の優先順位付けなどの空間的意思決定タスクで使用される構造化されたアプローチです。
この方法は、主に 2 つのステップで成り立っています。 1 つ目は、すべての基準を共通のスケールに変換することです。 2 つ目は、変換された基準に重み付けし、それらを組み合わせて出力を生成することです。
このツールは、2 つ目のステップ、つまり分析目標に合ったオーバーレイ方法の適用を実行します。
主な検討事項
以下は、多基準オーバーレイ分析を行う際の主な検討事項です。
入力ラスターの準備と変換
オーバーレイ方法の選択
入力ラスターへの加重の割り当て
これらの検討事項の詳細は以下に記載されています。 その後に、各方法の数学的計算と想定される用途について説明する追加のセクションが続きます。
入力ラスターの準備と変換
多基準の問題に直接関連し、かつ定量化できる入力ラスターを選択します。 各ラスターは単一の基準を測定する必要があります。 ラスター データセットは、単位、値の範囲、および高い値と低い値のどちらがより高い適合性を示すかが異なることが多いため、まずラスターを共通スケールに変換してから組み合わせる必要があります。 ラスター変換により、特定の基準が結果に不均衡な影響を与えることを防ぎ、適合性の値が一貫して解釈されるようにします。
たとえば、生息地の適合性解析の場合を考えてみます。 動物の食料源に関する要件を把握するために、土地被覆タイプのラスターと、河川への近接を記録するラスターを使用できます。 安全性を確保するために、建物からの距離を記録するラスターと傾斜角ラスターを使用し、人との接触の可能性が最小限のエリアを見つけることができます。 再分類 ツールを使用し、研究対象動物の生息地の選好に基づいてさまざまな土地利用タイプに適合性値を割り当てます。 連続的な基準を表すラスターについては、関数によるリスケール ツールを使用し、共通の適合性スケールに変換します。
オーバーレイ方法の選択
さまざまなオーバーレイ方法が用意されており、それぞれ長所と要件が異なります。 各オーバーレイ方法を確認し、自分の分析目的とモデル化する行動に最も適した方法を選択します。
入力ラスターへの加重の割り当て
分析目的を達成するうえで各入力の相対的な重要性を反映した加重を割り当てる必要があります。
加重は、専門家との相談に基づく場合もあれば、統計分析に基づいて算出される場合もあります。 分析結果は、重み付けプロセスの影響を大きく受ける可能性があるため、加重の値に妥当性があることを確認することが重要です。
加重合計
入力ラスター間のトレードオフが許容される場合は、オーバーレイ方法 パラメーターの 加重合計 オプションを使用します。 あるラスターの高い場合、別のラスターの低い値を補い、すべての入力基準にわたって組み合わされた総合的なパフォーマンスまたは適合性を表す結果が生成されます。
公式
この方法では、各入力ラスターのセル値が、対応する加重で乗算されます。 結果が合計されて、出力ラスターを作成します。
公式で表すと、各ロケーションの出力値は次のように計算されます。
\(OutRas = (Ras1 \times Weight1) + (Ras2 \times Weight2) + \ldots + (RasN \times WeightN)\)
例
以下の図は、異なる加重係数を適用して 2 つの入力例ラスターにこの公式を適用した結果を示しています。 これらの入力は、他のすべての方法の例で使用されます。
左上のセルを例に説明します。 InRas1 では、ロケーションのセル値は 1 です。 加重 1.5 で乗算すると、値は 1.5 となります。 InRas2 では、ロケーションのセル値は 6.5 であるため、加重 2 で乗算した結果は 13 となります。
値 1.5 と 13 を合計すると、そのロケーションの出力セル値は 14.5 になります。
適用例
この方法には、次のような適用例があります。
風力発電所の立地選定: 風力発電所の立地選定プロジェクトでは、この方法を使用して複数の基準を 1 つの適合性マップに集約します。 この方法では、割り当てられた重要度に基づいて、優れた風力資源が、中程度の傾斜角などの条件をどのように上回るかを捉えることができます。
ワイナリーのブドウ園計画: ブドウ園の用地計画では、加重合計方法を使用して自然の気候条件、コスト関連要因、土壌特性を総合して最終的な適合性スコアを算出します。 長期的な利益を考慮すると、気候および土壌の高い適合性が、不利な条件を相殺することができます。
加重幾何補正平均
すべての入力ラスターの値が比較的高い解析には、オーバーレイ方法 パラメーターの 加重幾何補正平均 オプションを使用します。
計算は乗算に基づいているため、いずれかの入力ラスターに低い値があると、それに比例して最終的な適合性が低下し、他のラスターの高い値で補うことはできません。 この方法は、他の入力からの寄与を取り込みつつ、低い値を制限要因として維持するためによく選択されます。 加重の指数関数的な性質により、低い値が結果にどの程度強く影響するかを制御できます。
公式
この方法では、各ロケーションについて、入力ラスターのセル値が対応する加重で累乗されます。 結果が乗算され、その積がすべての加重の合計で累乗されます。
数式で表すと、まずすべての加重の合計を計算します。
\(Weights_sum = Weight1 + Weight2 + \ldots + WeightN\)
次に、すべての入力セル値を関連付けられた加重で累乗し、それらの値の積を計算します。
\(Values_product = Ras1^{Weight1} \times Ras2^{Weight2} \times \ldots \times RasN^{WeightN}\)
各ロケーションの最終出力値は、重み付けされた値の積を、すべての加重の合計の逆数で累乗して計算されます。
\(OutRas = Values_product^{(1 / Weights_sum)}\)
例
以下の図は、加重合計方法で使用したものと同じ入力と加重にこの式を適用した場合の結果を示しています。
InRas1 では、値 1 の左上のセルが加重で累乗されます。 結果は、11.5 = 1 です。
InRas2 では、加重により入力セルの値 6.5 が 2 乗され、値 42.25 となります。
1 と 42.25 の積は 42.25 です。 すべての加重の合計は 1.5 + 2 = 3.5 となります。
そのロケーションの最終的な出力は、42.25(1 / 3.5) ≈ 2.91 です。
適用例
この方法には、次のような適用例があります。
生息地適合性指数: 生息地モデリングでは、水質、温度、光の利用可否などの複数の基準を加重幾何補正平均を使用して組み合わせるため、すべての重要な生息地条件が良好でない限り、そのサイトが高いスコアを得ることはありません。
養殖場の適合性と収量推定: 養殖場の評価では、複数の環境品質基準が加重幾何補正平均で集約されるため、重要な環境条件のいずれかが悪い場合には、全体的な適合性が急激に低下します。
最大値
入力ラスターが互いに代替可能であり、全体のバランスではなく各セルの最も強い利点または最高値を反映したい場合は、オーバーレイ方法 パラメーターの 最大値 オプションを使用します。 他の加重入力値が低くても、少なくとも 1 つの加重入力値が高い場合、セルは高い出力値を受け取ります。
公式
各入力セルに対して、ツールは、そのロケーションでの加重入力ラスターの中で最も大きな値を割り当てます。
各ロケーションの加重入力値の最大値を計算する式は次のとおりです。
\(OutRas = Maximum{(Ras1 \times Weight1), (Ras2 \times Weight2), \ldots, (RasN \times WeightN)}\)
例
同じ入力と加重にこの式を適用した場合の結果は次のとおりです。
InRas1 では、左上のセル値 1 を加重 1.5 で乗算し、1.5 となります。 InRas2 では、セル値 6.5 を加重 2 で乗算し、13 となります。
この方法では、2 つの加重値の最大値を返すため、出力値は 13 となります。
適用例
この方法には、次のような適用例があります。
鉱物探査: コバルト鉱床有望性マッピングでは、最大値オーバーレイ方法を使用して複数の基準を組み合わせ、いずれかの指標が鉱物ポテンシャルの高さを強く示す場合にセルを強調します。
無線カバレッジ マッピング: 無線ネットワーク計画では、複数の基地局からの信号強度ラスターを最大値オーバーレイ方法を使用して組み合わせ、各セルがそのロケーションで利用可能な最も強いカバレッジを表すようにします。
最小値
各セルで最も大きな制限要因を反映させたい場合は、オーバーレイ方法 パラメーターの 最小値 オプションを使用します。 他の加重入力が高い場合でも、加重入力ラスターの最低値を受け取ります。
公式
各入力セルに対して、ツールは、そのロケーションにある加重入力ラスターの中で最も小さな値を割り当てます。
各ロケーションの加重入力値の最小値を計算する式は次のとおりです。
\(OutRas = Minimum{(Ras1 \times Weight1), (Ras2 \times Weight2), \ldots, (RasN \times WeightN)}\)
例
同じ入力と加重にこの式を適用した場合の結果は次のとおりです。
InRas1 の左上のセルの値は 1 であり、加重 1.5 で乗算すると 1.5 となります。 InRas2 では、セル値 6.5 を加重 2 で乗算し、13 となります。
この方法では、2 つの加重値の最低値を返すため、出力値は 1.5 となります。
適用例
この方法には、次のような適用例があります。
生息地適合性: 生息地モデリングでは、食料と水の利用可否、土地利用タイプ、人間による干渉が重要な制限要因と考えられます。 これらを最小値オーバーレイ方法を使用して組み合わせると、重要な生息地条件が悪い場合にはセルが低く評価されます。
複数のサブモデルによる太陽光発電所の立地: 太陽光資源の適合性、アクセシビリティー、環境への影響を考慮について、3 つのサブモデル適合性マップを作成します。 太陽光資源は制限要因として扱われるため、最小値方法を使用して最終的な適合性を導出し、他の条件が良好な場合でも、太陽光ポテンシャルが低いロケーションの適合性が低いままになるようにします。
加重オーバーレイ
各基準を最終出力の割合として結果に寄与させたい場合は、オーバーレイ方法 パラメーターの 加重オーバーレイ オプションを使用します。 このオプションの加重値はパーセンテージ値で指定し、合計が 100 になるようにする必要があります。 パーセント パラメーター値に指定された各値は、各基準が他の基準と比較して最終出力にどの程度強く影響するかを示します。
結合された結果は、0 と 1、または 1 と 10 など、起点スケール および 終点スケール パラメーターによって定義された評価範囲にリスケールされます。 これにより出力ラスター値は、一定の範囲内に収まり、異なる入力基準や加重設定から生成された結果を直接比較しやすくなります。
公式
ロケーションごとに、入力ラスターの対応するセル値が パーセント オプションの値で乗算されます。 すべての加重値が加算されます。 その結果が、定義された出力範囲にスケールされます。
各ロケーションの出力値は、次のように計算されます。
\(CombinedValue = (Ras1 \times Percent1) + (Ras2 \times Percent2) + \ldots + (RasN \times PercentN)\)
その後、加重合計出力は次の式を使用してリスケールされます。
\(OutRas = {FromScale} + ({CombinedValue} - {CombinedValue}_{\min}) \cdot \large \frac {ToScale - FromScale}{CombinedValue_{\max} - CombinedValue_{\min}}\)
例
この式を適用すると、結果は次のようになります。 この例で選ばれる出力スケールは 1 ～ 10 です。
InRas1 では、左上のセル値 1 を 10 進数パーセンテージ 0.428 で乗算し、0.428 となります。 InRas2 では、セル値 6.5 を小数点パーセンテージ 0.572 で乗算し、3.718 となります。
この 2 つの値を合計すると 4.146 となります。
ツールは 9 つの入力ロケーションすべてについて計算を実行します。 その結果、最小値は 3.197、最大値は 7.112 となります。
これらの値を式に適用すると、このロケーションの最終出力値は次のようになります。
\(\begin{aligned}OutRas &= 1 + (4.146 - 3.1972) \cdot \frac{10 - 1}{7.1124 - 3.1972} \ &= 3.2\end{aligned}\)
適用例
この方法は加算の組み合わせを使用するため、加重合計と似ていますが、加重はパーセンテージで表され、最終的な値は指定された範囲内に収まります。
順序加重平均
高い値の基準を低い値の基準より重視したい場合、またはトレードオフや補償のレベルの違いが結果にどの程度影響するかを調べたい場合は、オーバーレイ方法 パラメーターの 順序加重平均 オプションを使用します。
固定された基準位置に固定加重を適用する方法とは異なり、順序加重平均 (OWA) はまず各セルで加重基準値を高い順に並べ替えます。 次に、ランク付けされた値に対して、最良、中間、最悪の基準がどの程度影響するかを制御する、別の順序加重セットを適用します。
順序加重を変更することで、結果を最小値のような動作 (低い基準値が出力を強く制限する) から、最大値のような動作 (高い基準値の影響度が最も大きくなる) へとシフトできます。 順序加重設定をカスタマイズする機能を使用して、基準全体で高い値が低い値をどの程度オフセットするかを制御します。
加重について特定の設定を使用すると、異なるオーバーレイ方法の結果を概算することができます。
最も高く重み付けられた基準に順序加重 1 を割り当て、それ以外のすべてに 0 を割り当てると、OWA は 最大値 方法のように動作します。
最も低く重み付けられた基準に順序加重 1 を割り当て、それ以外のすべてに 0 を割り当てると、OWA は 最小値 方法のように動作します。
ランク付けされたすべての値に等しい順序加重を与えると、OWA は 加重合計 方法のように動作します。ここでは、基準が均等に結果に寄与します。
順序加重を指定するには、2 つの方法があります。 順序加重方法 パラメーター値が カスタム オプションに設定されている場合は、手動で加重を入力できます。 自動的に導出するには、量化子誘導 オプションを選択します。
量化子誘導 オプションでは、順序加重の形状を制御するために 集約演算子 (Orness) 値が使用されます。 集約演算子 (Orness) は、オーバーレイがどの程度楽観的であるかを表します。 値が高いほど、最も高いランクの加重入力ラスター値への影響度が高くなります。 これにより、オーバーレイ方法 パラメーターの 最大値 オプションに似た動作になります。 値が低いほど、最も低いランクの加重入力ラスター値への影響度が高くなります。 これにより、オーバーレイ方法 パラメーターの 最小値 オプションに似た動作になります。
公式
各入力ラスターについて、すべてのセル値を、その入力に定義された加重値で乗算します。 次に、セルの位置ごとに加重値を高い順にランク付けします。 並べ替えられた値に基づいて順序加重を乗算し、それらを合計して、そのセルの最終出力値を求めます。
まず、入力ロケーションごとに加重入力値を計算します。
\(WeightedInput1 = Ras1 \times Weight1\)
\(WeightedInput2 = Ras2 \times Weight2\)
\(\ldots\)
\(WeightedInputN = RasN \times WeightN\)
次に、加重値を高い順にランク付けします。
\(Ranked_values = {Rank1(WeightedInput1), Rank2(WeightedInput2), \ldots, RankN(WeightedInputN)}\)
順序加重値のリストは入力として提供されるか、ツールによって生成されます。
\(List\ of\ weight\ values = {RankWeight1, RankWeight2, \ldots, RankWeightN}\)
順序重み値にランク付けされた加重値を乗算し、それらを合計して、最終出力ラスター内のそのセル位置の値を求めます。
\[ \begin{array}{l} OutRas = (RankWeight1 \times Rank1(WeightedInput1)) + (RankWeight2 \times Rank2(WeightedInput2)) \ \phantom{OutRas = {}} + \ldots + (RankWeightN \times RankN(WeightedInputN)) \end{array} $$ \]
例
この方法を例の入力に適用すると、次のような出力が得られます。
InRas1 の場合、左上のセルのロケーションの値を加重で乗算し、1 × 1.5 = 1.5 という結果が得られます。 InRas2 の場合、結果は 6.5 × 2 = 13 となります。
このロケーションの加重値は、高い順に 13 と 1.5 となります。
提供された順序加重 0.8 と 0.2 が、ランク付けされた値に適用されます。 InRas2 の場合、結果は 13 × 0.8 = 10.4 となります。 InRas1 の場合、結果は 1.5 × 0.2 = 0.3 となります。
この 2 つの値を合計すると 10.4 + 0.3 = 10.7 となります。
適用例
この方法には、次のような適用例があります。
統合農業計画: 順序加重のさまざまな組み合わせを適用することで、次の出力適合性マップを比較できます。
信頼性の高い長期生産に向けて、厳格な制限基準を適用します。
短期的な拡大に向けて可能性の高い機会を強調します。
中程度に適合するエリアを重視し、極端な結果を避けるバランスの取れた戦略を明らかにします。これは、リスク回避型の計画に役立ちます。
地滑り発生リスク マッピング: 順序加重を調整することで、傾斜角、降雨量、地質、土地被覆などの地滑り要因間のトレードオフの許容度を制御できます。
これにより、次のような発生リスク マップを比較できます。
トレードオフがほとんどない厳格な制限要因ルールを適用します。
強力な要因がより大きな影響を与える場合は、より許容度の高いルールを使用します。
基準間で部分的な補償を許容する中間的な戦略を検証します。
TOPSIS (Ideal Point Solution)
バランスの取れた妥協解を求める場合は、オーバーレイ方法 パラメーターの TOPSIS (Ideal Point Solution) オプションを使用します。 このオプションは、望ましい条件の近くにあり、それと同時に望ましくない条件から離れているロケーションを特定します。 他の方法とは異なり、この方法では複数の要素を最適化できます。
各入力ラスターに対して、正の理想点 (最も好ましい) と負の理想点 (最も好ましくない) を提供する必要があります。
入力ラスターの最小および最大である必要はありません。 たとえば、傾斜方向ラスターを入力として使用し、南向き斜面が望ましい場合は、180 を正の理想値、0 を負の理想値として設定できます。
入力ラスター値の範囲内である必要はありません。 たとえば、大気質指数を作成する際には、PM2.5 濃度 (低いほど良い) が 1 つの重要な基準となります。 使用するデータセットでは、市内の近隣地域は 18 μg/m³ からの範囲です。 WHO のガイドライン 5 μg/m³ を理想値として使うと、その理想点は入力ラスター範囲の最小値を下回ります。 市内に現在その基準を満たすロケーションがない場合でも、TOPSIS では、その値を参照値として使用し、各近隣地域が理想にどの程度近いかを測定できます。
公式
TOPSIS アルゴリズムでは、各入力ラスターについて、入力ラスターの単位で正の理想点 (最も望ましい値) と負の理想点 (最低基準値) が特定されます。 各入力ラスターは、まずそのラスター内の値の二乗和の平方根ですべてのセル値を除算することで標準化され、すべてのラスターが共通スケールに配置されます。 その後、標準化されたラスターと割り当てられた加重を乗算します。 次に、各セルから正の理想解と負の理想解までの距離を計算します。 最終出力は、相対的近接係数によって決定されます。この係数は、各セルから正の理想解および負の理想解までの距離に基づいて計算されます。 一般に、値が高いほど、正の理想点に相対的に近く、負の理想点から相対的に遠い、より望ましいセルを表します。
各入力ラスターと理想点値は、異なるラスターの値を比較できるようにするため、以下の式を使用して標準化されます。
\(\large r_{ij} = \large \frac {\large x_{ij}}{\large \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2}}\)
ここでは、
\(x_{ij}\) は入力ラスター \(j\) のセル \(i\) の値です。 また、その入力ラスター \(j\) の理想点の値も表しています。
\(n\) は解析の範囲内のすべての有効なセルの数です。
\(r_{ij}\) は入力ラスター \(j\) におけるセル \(i\) の正規化された値です。
次に、TOPSIS は各セルで、選択した 距離法 パラメーター値を使用して、そのセルから標準化された正の理想点および標準化された負の理想点までの距離を計算します。 次に、入力ラスターの加重が距離計算に適用され、より重要な基準ほど正の距離および負の距離に大きく寄与するようになります。
距離法 パラメーターは、ユークリッド距離 と マンハッタン距離 という 2 つの距離計算オプションを提供します。
ユークリッド距離 の場合、加重距離は次のように計算されます。
\(\large d_{i}^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} w_{j}(r_{ij} - r_{j}^{+})^{2}}\)
\(\large d_{i}^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} w_{j}(r_{ij} - r_{j}^{-})^{2}}\)
マンハッタン距離 の場合、加重距離は次のように計算されます。
\(\large d_{i}^{+} = \sum_{j=1}^{m} w_{j}\left|r_{ij} - r_{j}^{+}\right|\)
\(\large d_{i}^{-} = \sum_{j=1}^{m} w_{j}\left|r_{ij} - r_{j}^{-}\right|\)
ここでは、
\(d_{i}^{+}\) は、セル \(i\) から標準化された正の理想解までの加重距離です。
\(d_{i}^{-}\) は、セル \(i\) から標準化された負の理想解までの加重距離です。
\(r_{ij}\) は入力ラスター \(j\) のセル \(i\) の標準化された値です。
\(r_{j}^{+}\) はラスター $j$の標準化された正の理想値です。
\(r_{j}^{-}\) はラスター $j$の標準化された負の理想値です。
\(m\) は、入力ラスターの数です。
最後に、次の式を使用して 2 つの距離が 1 つの近接スコアに変換されます。
\(OutRas = \frac{\large d_i^{-}}{\large d_i^{+} + d_i^{-}}\)
例
この方法を例の入力に適用すると、次の出力が得られます。
最初の手順は、セル値の標準化です。 各ラスターには 1 つの NoData セルがあるため、その 2 つのロケーションは計算から除外されます。
ラスター 1 の場合、標準化係数は次のとおりです。
\(\sqrt{1^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 5^2 + 7^2 + 6^2} \approx 17.205\)
したがって、ラスター 1 の左上のセルの正規化値は次のようになります。
\(r_{1} = \frac {1}{17.205} = 0.058\)
ラスター 2 の場合、標準化係数は次のとおりです。
\(\sqrt{6.5^{2} + 4.5^{2} + 1.1^{2} + 5.7^{2} + 8.3^{2} + 1.6^{2} + 2.3^{2} + 2.9^{2}} \approx 13.467\)
したがって、ラスター 2 の左上のセルの正規化値は次のようになります。
\(r_{2} = \frac{6.5}{13.467} = 0.483\)
同じ係数を使用して理想点値を標準化します。
ラスター 1 の場合、正の理想値と負の理想値はそれぞれ 9 と 1 です。
\(r_{1}^{+} = \frac{9}{17.205} = 0.523 \qquad r_{1}^{-} = \frac{1}{17.205} = 0.058\)
ラスター 2 の場合、正の理想値と負の理想値はそれぞれ 10 と 1 です。
\(r_{2}^{+} = \frac{10}{13.467} = 0.742 \qquad r_{2}^{-} = \frac{1}{13.467} = 0.074\)
加重を適用し、正の理想点および負の理想点までの距離を計算します。
正の理想的な距離の場合:
\(d^{+} = \sqrt{1.5 \times (0.058 - 0.523)^2 + 2 \times (0.483 - 0.742)^2} = 0.678\)
負の理想的な距離の場合:
\(d^{-} = \sqrt{1.5 \times (0.058 - 0.058)^2 + 2 \times (0.483 - 0.074)^2} = 0.578\)
最終的な TOPSIS スコアを計算します
\(Out_{cell} = \frac{0.578}{0.679 + 0.578} = 0.460\)
適用例
この方法には、次のような適用例があります。
持続可能な都市開発:公共交通へのアクセス、植生被覆率、汚染曝露など複数の指標に基づいて、持続可能な都市開発に最適な地域を特定する場合には、TOPSIS を活用します。 この方法では、各ロケーションを、望ましい条件の理想的な集合、および逆の望ましくない条件の集合と比較します。 理想解に近く、負の理想解から遠いエリアは、より高い適合性値を受け取ります。これは、計画者が持続可能な開発目標の達成により寄与するロケーションを特定するのに役立ちます。
固形廃棄物処分場の適合性: TOPSIS を使用して複数の基準を組み合わせ、固形廃棄物処分場の場所を選定します。 好ましい条件、つまり環境的に安全技術的に実現可能であり、近隣コミュニティーに影響を及ぼす可能性が低いサイトが、正の理想解を定義します。一方、好ましくない条件、つまり集落や水域に近いロケーション、または地形や土地利用が不適切なエリアが、負の理想解を定義します。 TOPSIS は、望ましい処分条件に最も近く、不適切な条件から最も遠いサイトを特定するのに役立ちます。