近傍統計サマリーの仕組み

近傍統計サマリー ツールは、1 つ以上のポイントの数値フィールドまたは近傍を使用したポリゴンフィーチャのローカル統計サマリーを計算します。ローカル統計としては、平均、中央値、標準偏差、四分位範囲、歪度、分位数不均衡があります。近傍としては、距離バンド、近傍数、ポリゴン隣接、空間加重ファイルがあります。すべてのローカル統計は、カーネルを使用して地理空間的に加重できます。

近傍統計サマリーツールの図 — 統計サマリーは、各フォーカルフィーチャの近傍を使用して計算されます。

近傍タイプ

近傍タイプ パラメーターには 6 つのオプションがあり、これらを使用して各フォーカルフィーチャの近傍として使用するフィーチャを定義できます。すべての近傍タイプにおいて、デフォルトではフォーカルフィーチャ自体も近傍として使用されます。フォーカルフィーチャを近傍から除外するには、計算にフォーカルフィーチャを含める パラメーターをオフにします。

距離バンド - 指定の距離 (最大 1,000 フィーチャ) 内のすべてのフィーチャを近傍として使用します。デフォルトの距離は最短距離であり、各フィーチャに 1 つ以上の追加の近接フィーチャがあることが保証されます。
近傍数 - フォーカルフィーチャの最近接フィーチャの固定数が近傍として使用されます。この数値にフォーカルフィーチャ自体は含まれていません。フォーカルフィーチャを計算に含める場合、計算に使用される近傍数は、指定した値より 1 大きくなります。
隣接エッジのみ - フォーカルフィーチャとエッジを共有するポリゴンが近接フィーチャとして使用されます。このオプションはポリゴンフィーチャの場合のみ適用できます。
隣接エッジコーナー - フォーカルフィーチャとエッジまたはコーナーを共有するポリゴンが近接フィーチャとして使用されます。このオプションはポリゴンフィーチャの場合のみ適用できます。
ドロネー三角形分割 - ドロネー三角形分割でエッジまたはコーナーを共有することで定義される近傍です。このオプションを使用すると、ティーセンポリゴンの作成 ツールをポイントで使用し、隣接エッジコーナー オプションをティーセンポリゴンで使用するのと同じになります。このオプションはポイントフィーチャの場合のみ適用できます。
空間加重をファイルから取得 - 加重マトリックスファイル パラメーターで指定した空間加重マトリックスファイルによって各フィーチャの近接フィーチャと加重が定義されます。 空間加重マトリックスの生成 および ネットワーク空間加重の生成 ツールでファイルを作成できます。

統計サマリー

分析フィールドごとに計算できる 6 つの統計サマリーがあり、ローカル統計サマリー パラメーターで指定します。この 6 つの統計サマリーには、中心性のメジャー、可変性と拡散のメジャー、対称性のメジャーなどがあります。各クラスには 2 つの統計があり、1 つはトラディショナル、1 つはロバストです。ロバスト統計とは、少数の外れ値の影響を受けない統計指標です。

分析フィールドの 6 つの統計の計算には、デフォルトでは ローカル統計サマリー パラメーターの すべて オプションが使用されます。各統計の計算式は、「ローカル統計の計算式」セクションをご参照ください。

中心性のメジャー値は、値の分布の中央または中心を推定するために使用されます。これらのオプションを使ってノイズデータの値をスムージングすることができます。中心性のメジャー値は次のとおりです:

平均 (トラディショナル) - 分析フィールドの値の算術演算平均値。
中央値 (ロバスト) - 分析フィールドの値の 50 番目のパーセンタイル。値の半分は中央値を下回り、半分は中央値を上回ります。

可変性や拡散のメジャーは、可能性の高い値の分布範囲を推定するために使用されます。これらのオプションを使用して、分析フィールドの可変性がマップ全体で類似しているかどうか (分散定常性と呼ばれる)、あるいは特定のエリアのローカル変動が他のエリアより高くなっているかどうかを調査することができます。可変性のメジャーは次のとおりです:

標準偏差 (トラディショナル) - 分析フィールドの値の標準偏差。
四分位範囲 (ロバスト) - 分析フィールドの値の中央の範囲 (75 番目のパーセンタイルから 25 番目のパーセンタイルを減算)。データの半分はこの範囲内に収まります。

対称性のメジャーは、分布の形状が中央付近で対称的かどうかを計測するために使用されます。これらのオプションを使用して、高い/低い極値の頻度を調査できます。対称性のメジャーは次のとおりです:

歪度 (トラディショナル) - 分析フィールドの値の歪度。
分位数不均衡 (ロバスト) - 25 番目のパーセンタイルと 75 番目のパーセンタイルを基準にした中央値の位置を示す -1 ～ 1 の範囲の値。 -1 に近い値は、中央値が 25 番目のパーセンタイルに近いことを示し、1 に近い値は、中央値が 75 番目のパーセンタイルに近いことを示します。 0 に近い値は、中央値が 25 番目のパーセンタイルと 75 番目のパーセンタイルの中間となっていて対称性であることを示します。

分析フィールドの NULL 値

分析フィールドに NULL 値が含まれている場合、デフォルトでは計算で NULL 値は無視されます。 NULL 値を含めるには、計算で NULL 値を無視 パラメーターをオフにします。

計算で NULL 値を無視する場合、すべての計算の近傍数は下方に調整されます。たとえば、6 つの近傍のうち 2 つに NULL 値がある場合、平均値の計算は、NULL でない 4 つの値のみを合計してから 4 で除算します。

NULL 値を含める場合、計算に使用される値のいずれかが NULL であると、すべての統計は NULL として計算されます。たとえば、フィーチャの分析フィールドに NULL 値がある場合、そのフィーチャを近傍とする他のすべてのフィーチャは、その分析フィールドのすべての統計サマリーが NULL として計算されます。

ツールの出力

出力フィーチャは、最初の分析フィールド (分析フィールドが入力されていない場合は近傍までの距離) を計算した ローカル統計サマリー パラメーターで指定された統計を使用して、マップ内でシンボル表示されます。ローカル統計サマリーの すべて を選択すると、フィーチャは平均の統計結果を表示します。その他のすべての分析フィールド統計サマリーは、すべての分析フィールドのコピーとともに出力フィーチャにフィールドとして保存されます。また、分析フィールドごとに使用される近傍数を示すフィールドもあります。

地理空間加重統計サマリー

近傍タイプ パラメーターを 距離バンド または 近傍数 として指定すると、ローカル加重方式 パラメーターを使用してすべての統計量を地理空間的に加重できます。 近傍タイプ パラメーターに 空間加重をファイルから取得 を指定した場合、ファイルで指定された加重が加重方式として使用されます。加重方式を適用するとすべての統計サマリーが加重され、フォーカルフィーチャに近い近傍ほどカーネルと呼ばれる関数を使用した計算で受け取る加重は大きくなり、フォーカルフィーチャからの距離とともに小さくなります。 ローカル加重方式 パラメーターでは 2 つのカーネル関数が提供されています。

バイスクエア

\[ \text{weight} = \Bigl(1 - (\frac{\text{Distance}}{\text{Bandwidth}})^2\Bigr)^2 \]

ガウス

\[ \text{weight} = \exp!\bigl(-0.5 ,(\frac{\text{Distance}}{\text{Bandwidth}})^2\bigr). \]

カーネル関数は、加重が距離とともに減少する速度を制御するバンド幅に依存します。各カーネルのバンド幅は、カーネルバンド幅 パラメーターで指定します。値を指定しない場合、デフォルト値が実行時に推定され、ジオプロセシングメッセージとして表示されます。デフォルトのバンド幅の計算方法については、「カーネル密度の詳細」をご参照ください。

注意:

距離バンド近傍の場合、代わりに 距離バンド パラメーターと同じ値がカーネルバンド幅のデフォルト値となります。

ローカル統計の計算式

このセクションでは、1 つのフォーカルフィーチャのすべての統計サマリーの計算式について、加重されたバージョンと加重されないバージョンを説明します。これらの計算式は、すべての分析フィールドのすべての入力フィーチャに適用されます。

すべての計算式で、i = 1, ..., n とは、値 (x_i) によって昇順で並べ替えられたフォーカルフィーチャの近傍 (フォーカルフィーチャそのものを含む場合もある) のことを指します。すべての加重 (w_i) は、これらの計算式を適用する前に合計が 1 となるよう正規化されます。各統計量の加重されない計算式は、w_i = 1/n をすべての近傍 i に設定した値となります。

トラディショナル統計

次の表では、各トラディショナル統計サマリーの加重されたバージョンと加重されないバージョンの計算式を示しています。


統計	加重された計算式	加重されない計算式
平均	\[ \bar{x}_w = \sum_{i=1}^n w_i,x_i \]	\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \]
標準偏差	\[ s_w = \sqrt{\sum_{i=1}^n w_i,(x_i - \bar{x}_w)^2} \]	\[ s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \]
歪度	\[ b_w = \frac{\sqrt[3]{\sum_{i=1}^n w_i,(x_i - \bar{x}_w)^3}}{s_w} \]	\[ b = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^3}}{s} \]

ロバスト統計

すべてのロバスト統計は、加重された p 分位数の定義によって決まります。p は、0 ～ 1 の値を取ります。この定義は、加重中央値 (p=0.5)、第 1 四分位値 (p=0.25)、第 3 四分位値 (p=0.75) を計算するために用いられます。指定された p の p 分位数は次のように定義されます:

加重された p 分位数:

\[ Q_{p,w} = \begin{cases} \frac{1}{2}\bigl(x_i + x_{i+1}\bigr), & \sum_{j=1}^i w_j = p, \[6pt] x_{i+1}, & \sum_{j=1}^i w_j < p < \sum_{j=1}^{i+1} w_j \end{cases} \]

加重されない p 分位数:

\[ Q_{p} = \begin{cases} \frac{1}{2}\bigl(x_i + x_{i+1}\bigr), & \frac{i}{n} = p, \[6pt] x_{i+1}, & \frac{i}{n} < p < \frac{i+1}{n} \end{cases} \]

次の表では、上記の p 分位数の定義を使用して、各ロバスト統計サマリーの加重されたバージョンと加重されないバージョンの計算式を示しています。


統計	加重された計算式	加重されない計算式
中央値	\[ Med_w = Q_{0.5,w} \]	\[ Med = Q_{0.5} \]
四分位範囲	\[ IQR_w = Q_{0.75,w} - Q_{0.25,w} \]	\[ IQR = Q_{0.75} - Q_{0.25} \]
分位数不均衡	\[ QI_w = \frac{2,Med_w - (Q_{0.25,w} + Q_{0.75,w})}{IQR_w} \]	\[ QI = \frac{2,Med - (Q_{0.25} + Q_{0.75})}{IQR} \]

参考資料

地理空間加重統計サマリーの詳細については、次の資料をご参照ください:

Brunsdon, C., A.S. Fotheringham, M. Charlton. 2002 "Geographically weighted summary statistics — a framework for localised exploratory data analysis." Computers, Environment and Urban Systems 26 (6): 501-524. ISSN 0198-9715. https://doi.org/10.1016/S0198-9715(01)00009-6.