计算成对比较的一致性比率

通过成对比较分配权重工具通过成对比较输入变量，计算其相对权重。为了确保所有变量对之间的比较评估在逻辑上保持一致，该工具提供了诊断功能。该工具会计算一致性比率 (CR)，帮助您提高评估结果的一致性。例如，如果在成对比较中，您认为变量 A 比变量 B 重要两倍，变量 B 比变量 C 重要两倍，而变量 C 又与变量 A 同等重要，则评估结果在逻辑上不一致。换言之，如果 A > B 且 B > C，则 C 不可能等于 A。

将 CR 控制在可接受的范围内有助于避免出现这种逻辑矛盾。根据 Saaty (2000) 的观点：

如果 CR <= 0.1，则认为成对比较具有可接受的一致性。
如果 CR > 0.1，则应该调整比较评估，从而提高结果的一致性。

一致性比率的计算过程

计算 CR 的步骤如下：

计算一致性指标 (CI)。
根据变量的数量确定随机指标 (RI)。
通过将 CI 除以 RI 得到 CR。

以下示例将使用一个包含五个变量的比较矩阵，演示如何计算 CR。

表 1：包含派生权重的比较矩阵
变量	Solar_Gain	坡向	高程	Dist_to_Road	Dist_to_Elect	权重
Solar_Gain	1	3	2	2	0.333	0.235
坡向	0.333	1	0.5	1	0.2	0.089
高程	0.5	2	1	1	0.5	0.136
Dist_to_Road	0.5	1	1	1	5	0.247
Dist_to_Elect	3	5	2	0.2	1	0.294

以下公式用于进行相关计算。

计算 CI

将使用以下公式计算 CI：

一致性比率公式

其中：

λ（主特征值）是每个变量的 λ_i 值的平均值
n 是输入变量的数量

每个变量的 λ_i 值按以下公式计算：

Lambda i 公式

其中：

w_i 表示每个输入变量的派生权重（即表 1 中“权重”列的值）。
SW_i 表示每个变量 i 的加权总和。

每个变量的加权总和按以下公式计算：

变量的加权总和

其中：

a_ij 是原始成对比较矩阵中的数值，其中 i 表示行号，j 表示列号。
wj 是对应变量的派生权重

例如，变量 Solar_Gain 所在行的 SW 的计算方法如下：

Solar_Gain 变量的加权总和计算示例

变量 Solar_Gain 的 λ_i 值按以下公式计算：

Solar_Gain 变量的 Lambda 1 计算示例

对每行重复上述计算，求出每个变量的 λ_i 值。

然后，对所有 λ_i 值求平均值，即可得到 λ。

在本例中，λ 的值为 6.462，如下表所示。

表 2：每个变量的加权总和 (SW) 和 *λ_i* 的计算结果
变量	加权 (w_i)	加权总和 (SW_i)	λ_i = SW_i / wi
Solar_Gain	0.235	1.366	5.812
坡向	0.089	0.541	6.079
高程	0.136	0.826	6.070
Dist_to_Road	0.247	2.060	8.338
Dist_to_Elect	0.294	1.765	6.005
平均值	NA	NA	6.462

计算出 λ 之后，即可使用上述公式计算 CI。

由于本示例中有五个变量，因此 CI 的计算公式如下：

\(CI \space = \space (6.462 \space - \space 5)/(5 \space - \space 1) \space = \space 0.365\)

计算 RI

RI 是一个预定义的统计值，用于为成对比较的一致性比率计算提供基准。由 Saaty (2000) 提出的 RI 值来源于对每个矩阵大小进行的蒙特卡洛模拟。下表显示了每个矩阵大小对应的 RI 值。矩阵大小在表格的顶行中标识。


矩阵大小	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

当只有两个变量进行比较时，RI 值为 0，因为此时的比较本质上就是一致的。 RI 值会随着输入变量数量的增加而增大。

在本例中，变量的数量为 5，因此对应的 RI 值为 1.12。

计算 CR

通过将 CI 除以 RI 得到 CR。 CR 值可以衡量成对比较结果的一致性程度。

在本例中，CR 的计算公式如下：

\(CR \space = \space 0.365/1.12 \space = \space 0.326\)

由于 CR 值大于 0.1，因此您应该修改比较评估，以提高结果的一致性。

提高一致性

如果确定输入变量的比较结果不一致，则会突出显示对不一致性影响最大的三个变量对。应调整这些突出显示的变量对，从而提高结果的一致性。

以下工作流用于确定三个最不一致的变量对。

构建成对一致性矩阵

构建一个用于成对一致性评估的矩阵（Saaty，2003）。在以下公式中，此矩阵被称为 ε_ij：

Epsilon 矩阵公式

其中：

a_ij 是原始成对比较矩阵中的数值，其中 i 表示行号，j 表示列号。
w_j 和 w_i 分别是变量 j 和变量 i 的派生权重。

计算值

构建矩阵后，找出矩阵 ε_ij 中的三个最大值。这三个值对应的行和列所代表的变量对被认为是不一致的变量对。

在本比较示例中，CR 值为 0.326，大于 0.1。为了确定不一致的变量对，Solar_Gain 所在行与 Aspect 所在列的交叉像元的 ε_ij 值计算如下：

Solar_Gain 的 Epsilon 矩阵

重复上述计算，求出所有像元的数值。

确定最不一致的变量对

上述比较示例的 ε_ij 矩阵如下所示：

三个最不一致的变量对以红色突出显示

矩阵中数值最大的三个像元对应着对不一致性影响最大的比较。它们分别是变量 Dist_to_Road 和 Dist_to_Elect、变量 Aspect 和 Dist_to_Road，以及变量 Dist_to_Elect 和 Solar_Gain 之间的比较评估。在工具对话框中，滑块两侧会以红色突出显示这三个变量对。

在原始比较矩阵中，变量 Solar_Gain 的重要性被评估为变量 Dist_to_Road 的两倍 (Solar_Gain > Dist_to_Road)，以及变量 Dist_to_Elect 的三分之一 (Dist_to_Elect > Solar_Gain)。从逻辑上讲，Dist_to_Road 的重要性应该低于 Dist_to_Elect (Dist_to_Elect > Dist_to_Road)。然而，在原始比较中，评估结果却错误地为 Dist_to_Road 分配了比 Dist_to_Elect 高五倍的权重 (Dist_to_Road > Dist_to_Elect)。这是导致不一致的主要原因。

为了纠正这一问题，请将滑块向 Dist_to_Elect 侧移动，然后重新检查 CR 值。例如，如果将滑块移动到 Dist_to_Elect 侧的位置 5，然后再次单击一致性按钮，则新的 CR 值为 0.029，这表明整体比较现在是一致的。

更新后的权重和一致的 CR

参考文献

Saaty, T. L. 2000. Fundamentals of Decision Making and Priority Theory with the Analytic Hierarchy Process. Pittsburgh, PA: RWS Publications

Saaty, T. L. 2003 年。 "Decision-making with the AHP: Why is the principal eigenvector necessary". European Journal of Operational Research, 145(1), 85-91.

通过成对比较分配权重的工作原理