Fonctionnement de l’outil Pente
Disponible avec une licence 3D Analyst.
Disponible avec une licence Spatial Analyst.
L’outil Slope (Pente) identifie la déclivité de chaque cellule d’une surface raster. Plus la valeur de la pente est faible, plus le terrain est plat ; plus la valeur de la pente est élevée, plus le terrain est pentu.
Remarque :
L’outil Surface Parameters (Paramètres de surface) offre une implémentation plus récente de la pente et son utilisation est recommandée à la place de l’outil Slope (Pente). L’outil Slope (Pente) ajuste un plan aux neufs cellules locales, mais un plan peut ne pas être un bon descripteur du paysage et peut masquer ou exagérer les variations naturelles présentant un intérêt. L’outil Surface Parameters (Paramètres de surface) ajuste une surface au voisinage des cellules au lieu d’un plan, ce qui permet d’obtenir un ajustement plus naturel au terrain.
L’outil Pente utilise une fenêtre de cellules de 3 par 3 pour calculer la valeur, tandis que l’outil Paramètres de surface autorise des tailles de fenêtre allant de 3 cellules par 3 à 15 cellules par 15. Des tailles de fenêtre plus importantes sont utiles avec des données d’élévation de résolution plus élevée pour capturer les processus de surface terrestre à une échelle appropriée. L’outil Paramètres de surface propose également une option de fenêtre adaptative qui évalue la variabilité locale du terrain et identifie la taille de voisinage appropriée la plus grande pour chaque cellule. Cela peut s’avérer utile avec les terrains homogènes graduels interrompus par des cours d’eau, des routes ou des failles abruptes dans une pente.
Vous pouvez continuer à utiliser l’approche classique de l’outil Pente si les résultats doivent correspondre exactement aux exécutions précédentes de l’outil ou si un traitement plus rapide est plus important qu’un meilleur algorithme.
Le raster de pente en sortie peut être calculé dans deux types d’unités : degrés ou pourcentage (pourcentage d’élévation). Le pourcentage d’élévation peut être mieux compris si vous le considérez comme la hauteur divisée par le parcours, multipliée par 100. Consultez le triangle B ci-dessous. Lorsque l’angle est de 45 degrés, la hauteur est égale au parcours et le pourcentage d’élévation est de 100 pour cent. Lorsque l’angle de pente se rapproche de la verticale (90 degrés), comme dans le triangle \(C\), le pourcentage d’élévation se rapproche de l’infini.
L’outil Pente est généralement appliqué à un jeu de données d’élévation, comme le montrent les images ci-dessous. Les pentes les plus raides apparaissent sur le raster de pente en sortie sous forme de couleur marron foncé.
L’outil peut également être utilisé avec d’autres types de données continues, telles que des données de population, afin d’identifier d’importantes variations de valeur.
Méthodes de calcul et effet de bord
Il existe deux méthodes pour calculer la pente. Vous pouvez effectuer des calculs de type Planar (Planaire) ou Geodesic (Géodésique) avec le paramètre Method (Méthode).
Pour la méthode planaire, la pente est mesurée comme étant le taux de variation maximal des valeurs d’une cellule par rapport à ses voisins immédiats. Le calcul est effectué sur un plan plat projeté à l’aide d’un système de coordonnées cartésiennes 2D. La valeur de la pente est calculée à l’aide d’une estimation des différences finies de troisième ordre.
Avec la méthode géodésique, le calcul est effectué dans un système de coordonnées cartésiennes 3D en considérant que la forme de la Terre est un ellipsoïde. La valeur de pente est calculée en mesurant l’angle entre la surface topographique et le point de référence.
Les calculs planaires et géodésiques sont réalisés à l’aide d’un voisinage de 3 cellules par 3 (fenêtre mobile). Pour chaque voisinage, si la cellule (centrale) de traitement comporte une valeur NoData, la valeur en sortie est NoData. Le calcul exige également qu’au moins sept cellules voisines de la cellule de traitement contiennent des valeurs valides. Si le nombre de cellules valides est inférieur à sept, le calcul ne sera pas réalisé et la sortie à cette cellule de traitement sera égale à NoData.
Les cellules dans les lignes et colonnes les plus éloignées du raster en sortie seront égales à NoData. Cela s’explique par le fait que le long de la limite du jeu de données en entrée, ces cellules n’ont pas assez de voisins valides.
Méthode planaire
La pente est calculée comme le taux de variation (delta) de la surface dans les directions horizontale (dz/dx) et verticale (dz/dy) à partir de la cellule centrale vers chaque cellule adjacente. L’algorithme de base utilisé pour calculer la pente est le suivant :
\(slope_{radians} = \arctan ( √ ( [dz/dx] ^2 + [dz/dy] ^2 ) )\)
La pente est généralement mesurée en degrés, comme dans l’algorithme suivant :
\(slope_{degrees} = \arctan ( √ ([dz/dx] ^2 + [dz/dy] ^2 ) ) * 57.29578\)
Remarque :
La valeur 57,29578 indiquée ici est une version tronquée du résultat de 180/pi.
L’algorithme de pente peut aussi être interprété comme suit :
\(slope_{degrees} = \arctan ( {rise_run} ) * 57.29578\)
où :
\({rise_run} = √ ([dz/dx] ^2 + [dz/dy] ^2 ]\)
Les valeurs de la cellule centrale et de ses huit voisins déterminent les deltas horizontaux et verticaux. Les voisins sont identifiés par les lettres \(a\) à \(i\), \(e\) représentant la cellule pour laquelle la pente est calculée.
Le taux de variation dans la direction x pour la cellule \(e\) est calculé avec l’algorithme suivant :
\([dz/dx] = ((c + 2 f + i) * 4 / {wght1} - (a + 2 d + g) * 4 / {wght2} ) / (8 * {x_cellsize} )\)
où :
\(wght1\) et \(wght2\) sont les nombres pondérés horizontaux des cellules valides.
Par exemple, si :
\(c\), \(f\) et \(i\) comportent toutes des valeurs valides, \(wght1\) = (1 + 2 \* 1 + 1) = 4.
\(i\) a une valeur NoData, \(wght1\) = (1 + 2 \* 1 + 0) = 3.
\(f\) a une valeur NoData, \(wght1\) = (1 + 2 \* 0 + 1) = 2.
La même logique s’applique à \(wght2\), mais les localisations voisines sont \(a\), \(d\) et \(g\).
Le taux de variation dans la direction y pour la cellule \(e\) est calculé avec l’algorithme suivant :
\([dz/dy] = ((g + 2 h + i) * 4 / {wght3} - (a + 2 b + c) * 4 / {wght4} ) / (8 * {y_cellsize})\)
où :
\(wght\) et \(wght4\) suivent le même concept que dans le calcul [dz/dx].
Exemple de calcul de pente planaire
Dans cet exemple, la valeur de pente de la cellule centrale de la fenêtre mobile présentée ci-dessous est calculée.
Le taux de variation dans la direction x pour la cellule centrale \(e\) est le suivant :
Le taux de variation dans la direction y pour la cellule \(e\) est le suivant :
En se basant sur le taux de variation dans les directions x et y, la pente de la cellule centrale \(e\) est calculée comme suit :
et
La valeur entière de la pente de la cellule \(e\) est 75 degrés.
Méthode géodésique
La méthode géodésique mesure la pente dans un système de coordonnées 3D géocentriques — également appelé système de coordonnées géocentriques à axes fixes (ECEF) — en considérant la forme de la Terre comme un ellipsoïde. La façon dont le jeu de données est projeté n’a pas d’impact sur le résultat du calcul. Ce dernier utilise les unités Z du raster en entrée si elles sont définies dans la référence spatiale. Si la référence spatiale de l’entrée ne définit pas les unités Z, vous devez les définir à l’aide du paramètre d’unité Z. La méthode géodésique produit une pente plus précise que la méthode planaire.
Transformation de coordonnées géodésiques
Le système de coordonnées géocentriques à axes fixes (ECEF) est un système de coordonnées cartésiennes 3D fondé sur la règle de la main droite avec le centre de la Terre comme origine, où toute localisation est représentée par les coordonnées x, y et z. La figure ci-dessous illustre un exemple de localisation cible (\(T\)) exprimée à l’aide de coordonnées géocentriques.
Le calcul géodésique utilise une coordonnée x, y, z qui est calculée en fonction de ses coordonnées géodésiques (latitude \(φ\), longitude \(λ\), hauteur \(h\)). Lorsque le système de coordonnées du raster de surface en entrée est un système de coordonnées projetées, le raster est d’abord reprojeté dans un système de coordonnées géographiques, où chaque localisation possède une coordonnée géodésique, puis transformé dans le système de coordonnées ECEF. La hauteur h (valeur z) est la hauteur ellipsoïdale par rapport à la surface ellipsoïdale. Reportez-vous aux illustrations ci-dessous.
Pour effectuer la transformation en coordonnées ECEF à partir d’une coordonnée géodésique (latitude \(φ\), longitude \(λ\), hauteur \(h\)), utilisez les formules suivantes :
\(X = (N(φ) + h) \cos φ \cos λ\)
\(Y = (N(φ) + h) \cos φ \sin λ\)
\(Z = (b^2 / a^2 * N (φ) + h) \sin φ\)
où :
\(N(φ) = a^2 / √(a^2 \cos φ^ + b^2 \sin φ^2)\)
\(φ\) est la latitude
\(λ\) est la longitude
\(h\) est la hauteur ellipsoïdale
\(a\) est le grand axe de l’ellipsoïde
\(b\) est le petit axe de l’ellipsoïde
La hauteur ellipsoïdale \(h\) est exprimée en mètres dans les formules ci-dessus. Si l’unité Z du raster en entrée est spécifiée dans une autre unité, elle est transformée en mètres en interne.
Calcul de pente
La pente géodésique est l’angle formé entre la surface topographique et la surface ellipsoïdale. Toute surface parallèle à la surface ellipsoïdale a une pente de 0. Pour calculer la pente à chaque localisation, un plan de voisinage de 3 x 3 cellules est adapté autour de chaque cellule de traitement à l’aide de la méthode des moindres carrés (LSM). Le meilleur ajustement par la méthode des moindres carrés (LSM) minimise la somme des carrés des différences (dzi) entre la valeur z réelle et la valeur z ajustée. Reportez-vous à l’illustration ci-dessous pour un exemple.
Ici, le plan est représenté par z = Ax + By + C. Pour chaque cellule centrale, dzi est la différence entre la valeur z réelle et la valeur z ajustée.
Le plan est mieux ajusté lorsque \({\Large \sum\limits _{i=1}^9}{{dz_i}^2}\) est minimisé.
Une fois le plan ajusté, la normale à la surface est calculée à l’emplacement de la cellule. Au même endroit, une normale à l’ellipsoïde perpendiculaire au plan tangent de la surface ellipsoïdale est également calculée.
La pente, en degrés, est calculée à partir de l’angle entre la normale à l’ellipsoïde et la normale à la surface topographique, représentée par \(β\) ici. À partir de l’illustration ci-dessus, l’angle α est la pente géodésique, qui est identique à l’angle \(β\), conformément à la loi de la congruence géométrique.
Pour calculer la pente en pourcentage d’élévation, la formule suivante est utilisée :
\(Slope_{PercentRise} = \arctan (β) * 100\)
Puis-je utiliser l’outil Paramètres de surface ?
Si la valeur du paramètre Input raster (Raster en entrée) correspond à la haute résolution avec une taille de cellule inférieure à quelques mètres, ou particulièrement bruyante, envisagez d’utiliser l’outil Paramètres de surface et l’option de distance de voisinage définie par l’utilisateur plutôt que le voisinage immédiat de 3 cellules par 3 de cet outil. L’utilisation d’un voisinage plus important peut limiter l’effet des surfaces bruyantes. L’utilisation d’un voisinage plus important peut également améliorer la représentation des caractéristiques des reliefs et des surfaces si des surfaces haute résolution sont utilisées.
Utilisation d’un GPU
Pour la méthode géodésique, cet outil peut offrir des performances accrues si un matériel GPU particulier est installé sur votre système. Reportez-vous à la section Traitement GPU avec Spatial Analyst pour des détails sur sa prise en charge, sa configuration et son activation.
Bibliographie
Marcin Ligas et Piotr Banasik, 2011. Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations (GEODESY AND CARTOGRAPHY), Vol. 60, No 2, 2011, pages 145 à 159
- Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger et J. Collins, 2001. GPS - theory and practice. Section 10.2.1. page 282.
David Eberly 1999. Least Squares Fitting of Data (Geometric Tools, LLC), pp. 3.