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Formules pour les fonctions de transformation

Disponible avec une licence Spatial Analyst.

Cette section explique les formules utilisées pour les fonctions de transformation dans l’outil Rescale by Function (Redimensionner par fonction). Les formules des fonctions de transformation sont présentées comme des expressions d’algèbre spatial de Spatial Analyst.

La formule générale de chaque fonction de transformation est identifiée. Par défaut, la formule générale est modifiée en fonction de la valeur minimale (lowerThreshold) et de la valeur maximale (upperThreshold) du jeu de données en entrée. La manière dont les paramètres par défaut sont déterminés est également présentée ci-dessous.

Avec la formule générale, un nombre illimité de courbes de fonction peut être défini et n’importe quelle portion de la courbe de fonction peut être capturée. Dans la version par défaut de la formule, une seule courbe de la fonction correspondra à la valeur minimale et à la valeur maximale du jeu de données en entrée. De ce fait, en plus d’appliquer la mise à l’échelle linéaire des valeurs transformées, les données représentées dans différentes unités (par exemple, Celsius ou Fahrenheit) produiront les mêmes valeurs d’évaluation en sortie.

Appliquer une fonction de transformation

En principe, les étapes à suivre pour appliquer une fonction de transformation sont les suivantes :

  1. Spécifiez le jeu de données en entrée et les paramètres de fonction.

  2. Appliquez la formule de transformation.

  3. Mettez les valeurs transformées à l’échelle linéairement en fonction de l’échelle d’évaluation.

L’équation de transformation linéaire utilisée pour mettre à l’échelle les valeurs transformées en fonction de l’échelle d’évaluation à l’étape 3 ci-dessus est la suivante :

\(ScaledY = fromScale + (Y - min(Y)) * r\)

  • où :

    \(Y = F(In)\), qui est la valeur transformée avec la formule \(F\), présentée dans les formats généraux suivants, où \(In\) est la valeur en entrée

    \(r\) est le résultat de \(\Large \frac {(toScale - fromScale)}{(max(Y) - min(Y))}\).

    \(min(Y)\) est la valeur minimale de \(Y\).

    \(max(Y)\) est la valeur maximale de \(Y\).

    \(fromScale\) est le minimum de l’échelle d’évaluation (par exemple, 1).

    \(toScale\) est le maximum de l’échelle d’évaluation (par exemple, 10).

Exponential (Exponentiel)

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Exponential.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(Exp((In – inShift) * baseFactor)\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(inShift\) est la valeur soustraite des valeurs en entrée.

    \(baseFactor\) est un multiplicateur des valeurs en entrée décalées, ce qui contrôle le degré d’ascension de la fonction exponentielle.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(inShift\) et de \(baseFactor\) sont calculées comme suit.

\(inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)\)

et

\(baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)\)

  • où :

    \(A = \Large \frac {(minIn * Ln(toScale) - maxIn * Ln(fromScale))}{(Ln(toScale) - Ln(fromScale))}\)

    \(B = \Large \frac {(minIn * Ln(fromScale) - maxIn * Ln(toScale))}{(Ln(fromScale) - Ln(toScale))}\)

    \(C = \Large \frac {(Ln(toScale) - Ln(fromScale))}{(maxIn - minIn)}\)

    \(D = \Large \frac {(Ln(fromScale) - Ln(toScale))}{(maxIn - minIn)}\)

    \(Ln\) est le logarithme d’une valeur avec base e.

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

Gaussian (Gaussien)

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Gaussian.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(Exp(-Spread * Square(In - MidPoint))\)

  • où :

    \(Spread\) est le paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la déclivité de la désintégration à partir du centre.

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(MidPoint\) est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le centre de la courbe Gaussienne.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(Spread\) et de \(MidPoint\) sont calculées comme suit.

\(Spread = Ln(10) * 4 / Pow(MidPoint - minIn, 2)\)

et

\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)

  • où :

    \(Ln(10)\) est le logarithme de 10 avec base e.

    \(Pow(MidPoint - minIn, 2)\) est la valeur de \(MidPoint - minIn\) à la puissance 2.

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

Large (Grande)

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Large.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, - Spread))\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(MidPoint\) est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le point de transition de la fonction.

    \(Spread\) est le paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la vitesse à laquelle la préférence augmente et diminue.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(Spread\) et de \(MidPoint\) sont calculées comme suit.

\(Spread = 5\)

et

\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)

  • où :

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

Linéaire

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Linear.

Format général

Les formats généraux de la formule selon le type de pente sont les suivants :

Pente positive (Min < Max) :

\(Con(In < Min, 0, Con(In > Max, 1, (In - Min) / Diff))\)

Pente négative (Min > Max) :

\(Con(In > Min, 0, Con(In < Max, 1, (In - Min) / Diff))\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(Min\) est le minimum spécifié, qui définit le premier point par lequel la fonction Linear (Linéaire) doit passer.

    \(Max\) est le maximum spécifié, qui définit le deuxième point par lequel la fonction Linear (Linéaire) doit passer.

    \(Diff\) est égal à \(Max - Min\).

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(Min\) et de \(Max\) sont calculées comme suit.

\(Min = minIn\)

et

\(Max = maxIn\)

  • où :

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

Logarithm (Logarithme)

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Logarithm.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(Ln((In – inShift) * baseFactor)\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(InShift\) est la valeur soustraite des valeurs en entrée.

    \(baseFactor\) est le multiplicateur des valeurs en entrée décalées, qui contrôle l’ascension de la fonction Logarithm (Logarithme).

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(inShift\) et de \(baseFactor\) sont calculées comme suit.

\(inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)\)

et

\(baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)\)

  • où :

    \(A = \Large \frac {(minIn * Exp(toScale) - maxIn * Exp(fromScale))}{(Exp(toScale) - Exp(fromScale))}\)

    \(B = \Large \frac {(minIn * Exp(fromScale) - maxIn * Exp(toScale))}{(Exp(fromScale) - Exp(toScale))}\)

    \(C = \Large \frac {(Exp(toScale) - Exp(fromScale))}{(maxIn - minIn)}\)

    \(D = \Large \frac {(Exp(fromScale) - Exp(toScale))}{(maxIn - minIn)}\)

    \(Exp\) est l’exponentiel de la valeur avec base e.

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

LogisticDecay

Les formules de la fonction de transformation Logistic Decay sont les suivantes.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(C / (1 + A * Exp((In – Min) * B))\)

Les définitions des paramètres de la formule sont les mêmes que pour LogisticGrowth.

Remarque :

Dans l’équation LogisticGrowth, les calculs Exponential sont déterminés à partir du négatif de la valeur pour calculer l’exponentiel : Exp( - (In - Min) * B).

LogisticGrowth

Les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Logistic Growth sont les suivantes.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(C / (1 + A * Exp( - (In – Min) * B))\)

  • où :

    \(Min\) est le minimum spécifié, qui contrôle le point de départ de la croissance logistique.

    \(C\) est l’asymptote horizontal de capacité ou supérieur.

    \(A\) détermine l’intersection si \(In = Min\).

    \(B\) détermine la base de la fonction exponentielle Exp.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(C\), de \(A\) et de \(B\) sont déterminées comme suit.

\(C = 100\)

\(A = C / yInterceptPercent - 1\)

\(B = \Large \frac {Ln(A)}{(0.5 * (Max + Min) - Min)}\)

  • où :

    \(yInterceptPercent\) est le pourcentage de l’intersection y divisé par \(C\), qui est défini sur 1 pour LogisticGrowth et sur 99 pour LogisticDecay par défaut.

    \(Min\) est le minimum spécifié, qui est défini sur la valeur minimum de l’entrée par défaut.

    \(Max\) est le maximum spécifié, qui est défini sur la valeur maximum de l’entrée par défaut.

    \(Ln(A)\) est le logarithme de \(A\) avec base e.

    \(0.5 * (Max + Min)\) est la coordonnée x du point d’inflexion \(y = C / 2\), créant le point d’inflexion au milieu de \(Min\) et \(Max\).

MSLarge

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation MSLarge.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(Con(In > nMeans, 1 - (nStdv / (In - nMeans + nStdv)), 0)\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(nMeans\) est égal à \(meanMultiplier\) * moyenne.

    \(nStdv\) est égal à \(STDMultiplier\) * std, std correspondant à l’écart type parmi la population entière.

Valeurs par défaut

meanMultiplier et STDMultiplier sont définis sur 1 par défaut.

MSSmall

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation MSSmall.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(Con(In > nMeans, nStdv / (In - nMeans + nStdv), 1)\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(nMeans\) est égal à meanMultiplier * moyenne.

    \(nStdv\) est égal à STDMultiplier * std, std correspondant à l’écart type parmi la population entière.

Valeurs par défaut

meanMultiplier et STDMultiplier sont définis sur 1 par défaut.

Proche

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Near.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(1.0 / (1.0 + Spread * Pow(In - MidPoint, 2))\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(Spread\) est le paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la déclivité de la désintégration à partir du centre.

    \(MidPoint\) est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le centre de la courbe.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(Spread\) et de \(MidPoint\) sont calculées comme suit.

\(Spread = 36 / Pow(MidPoint - minIn, 2)\)

et

\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)

  • où :

    \(Pow(MidPoint - minIn, 2)\) est la valeur de \(MidPoint - minIn\) à la puissance 2.

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

Puissance

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Power.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(Pow(In – inShift, Exponent)\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(inShift\) est la valeur soustraite des valeurs en entrée.

    \(Exponent\) est l’exposant auquel élever la fonction.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(inShift\) et de \(Exponent\) sont calculées comme suit.

\(inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)\)

  • où :

    \(A = Con(fromScale == 1, minIn - 1, minIn)\)

    \(B = Con(toScale == 1, minIn - 1, minIn)\)

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

et

\(Exponent = Con(toScale > fromScale, C, D)\)

  • où :

    \(C = Con(fromScale == 0, C1, Con(fromScale == 1, C2, 2))\)

    \(C1 = Con(toScale <= 1, 1, Ln(toScale) / (maxIn - inShift))\)

    \(C2 = Ln(toScale) / Ln(maxIn - inShift)\)

    \(D = Con(toScale == 0, D1, Con(toScale == 1, D2, 2))\)

    \(D1 = Con(fromScale <= 1, 1, Ln(fromScale) / (maxIn - inShift))\)

    \(D2 = Ln(fromScale) / Ln(maxIn - inShift)\)

    \(Ln\) est le logarithme d’une valeur avec base e.

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

Small (Petite)

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Small.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

\(1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, Spread))\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(MidPoint\) est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le point de transition de la fonction.

    \(Spread\) est le paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la vitesse à laquelle la préférence augmente et diminue.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(Spread\) et de \(MidPoint\) sont calculées comme suit.

\(Spread = 5\)

et

\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)

  • où :

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.

SymmetricLinear

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation SymmetricLinear.

Format général

Les formats généraux de la formule pour différents types de pente sont les suivants.

Pour les pentes positives (\(Min < Max\)) :

\(Con(In < Min , 0, Con(In < MidP, (In - Min) / HDiff, Con(In > Max, 0, (Max - In) / HDiff)))\)

Pour les pentes négatives (\(Min > Max\)) :

\(Con(In < Max, 1, Con(In < MidP, (In - MidP) / HDiff, Con(In > Min, 1, (MidP - In) / HDiff)))\)

  • où :

    \(In\) est la valeur en entrée.

    \(Min\) est le minimum spécifié, qui définit un point par lequel la fonction \(SymmetricLinear\) doit passer.

    \(Max\) est le maximum spécifié, qui définit l’autre point par lequel la fonction \(SymmetricLinear\) doit passer.

    \(Diff\) est égal à \(Max - Min\).

    \(HDiff\) est égal à \(0.5 * Diff\).

    \(MidP\) est égal à \(Min + HDiff\).

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de \(Min\) et de \(Max\) sont calculées comme suit.

\(Min = minIn\)

et

\(Max = maxIn\)

  • où :

    \(minIn\) est le minimum de l’entrée.

    \(maxIn\) est le maximum de l’entrée.