Fonctionnement de l’outil Generate Weighted Voronoi (Générer un diagramme de Voronoï pondéré)
Disponible avec une licence Spatial Analyst.
L’outil Generate Weighted Voronoi (Générer un diagramme de Voronoï pondéré) partitionne l’espace en régions d’influence autour des sites des points en entrée, en affectant chaque emplacement au site dont le coût d’influence est le plus bas pour un type de Voronoï sélectionné. Cet outil étend le diagramme de Voronoï non pondéré classique (également appelé diagramme de Thiessen) en intégrant des pondérations spécifiques aux sites, une allocation d’ordre supérieur et une expression généralisée de l’influence. Il est conçu pour prendre en charge les processus d’allocation raster tout en fournissant une représentation surfacique pour les processus vectoriels.
Utilisations du diagramme de Voronoï pondéré
Une fonctionnalité Voronoï pondérée comble un vide fonctionnel entre les polygones de Thiessen traditionnels et les outils d’allocation raster. Les polygones de Thiessen sont en fait des régions de Voronoï de premier ordre, non pondérées, couramment traitées comme une construction vectorielle. L’allocation euclidienne prend en charge l’allocation raster, mais n’est pas structurée pour représenter plusieurs formulations pondérées de Voronoï, modèles d’influence personnalisés et sorties d’ordre supérieur de manière transparente et maintenable. L’outil Generate Weighted Voronoi (Générer un diagramme de Voronoï pondéré) fournit une implémentation extensible dédiée qui prend en charge les processus raster et vectoriels.
Fonction d’influence et allocation
L’outil calcule l’influence de chaque site sur le plan environnant en calculant des scores d’influence non pondérés ou pondérés.
Soit \(S\) l’ensemble des sites en entrée, où \(i = 1 \ldots N\) et chaque site possède la géométrie \(s_i\) et les attributs facultatifs \(w_i\) (pondération) et \(k_i\) (coefficient).
Pour tout emplacement \(x\) de l’espace d’étude, l’outil procède aux opérations suivantes :
Il calcule une distance \(d(x, s_i)\) à l’aide des valeurs de paramètre Distance Method (Méthode de calcul de distance) et Distance Unit (Unité de distance) sélectionnées.
Il convertit cette distance en un score d’influence \(F_i(x)\) à l’aide de la valeur de paramètre Voronoi Type (Type de Voronoï) sélectionnée ou d’une Custom Expression (Expression personnalisée) que vous définissez.
Il attribue l’emplacement \(x\) au site (ou aux sites) qui minimisent le score d’influence.
Voici quelques exemples d’équations d’influence :
Non pondéré (Voronoï classique) : \(F_i(x) = d(x, s_i)\)
Pondéré (exemple de formulaire) : \(F_i(x) = d(x, s_i) \times w_i\)
Personnalisé (exemple de formulaire) : \(F_i(x) = \dfrac{d(x, s_i)}{(\sqrt{w_i})^{k_i}} + e\)
Pour chaque emplacement, l’outil compare les scores d’influence de tous les sites candidats et attribue l’emplacement au site (ou à l’ensemble de sites) dont le score est le plus faible. En d’autres termes, un score d’influence inférieur signifie une influence plus forte et détermine l’affectation du type de Voronoï.
Dans les calculs de Voronoï de premier ordre, chaque emplacement est attribué au meilleur site. Dans les calculs d’ordre supérieur, chaque emplacement est attribué au $k$e site le plus proche (ou à l’ensemble des premiers \(k\) sites les plus proches, selon la combinaison).
Calcul de la distance
Les résultats du calcul de la distance dépendent des valeurs de deux perramètres.
La valeur du paramètre Distance Method (Méthode de calcul de distance) détermine la manière dont \(d(x, s_i)\) est mesuré.
L’option Planar (Planaire) calcule les distances dans un système de coordonnées projetées à l’aide des mathématiques planaires (cartésiennes). Cette méthode est appropriée pour les analyses où la courbure de la Terre peut être ignorée à l’échelle de la carte et où les données se trouvent dans un système de coordonnées projetées approprié.
L’option Geodesic (Géodésique) calcule les distances sur l’ellipsoïde, en tenant compte de la courbure de la Terre. Cette méthode convient si les jeux de données se trouvent dans des coordonnées géographiques ou couvrent de vastes étendues.
La valeur du paramètre Distance Unit (Unité de Distance) définit le mode d’ajustement de l’unité de rapport et de mise à l’échelle interne pour les valeurs de distance. Elle influence également la magnitude numérique de \(d\) dans la fonction d’influence. Les unités disponibles sont les suivantes : Celles (Cellules), Meters (Mètres), Centimeters (Centimètres), Kilometers (Kilomètres), Inches (Pouces), Feet (Pieds), Yards et Miles.
Si l’option Celles (Cellules) est utilisée, la distance est exprimée en nombre de cellules raster. Cela requiert une taille de cellule en sortie de sorte qu’une cellule corresponde à une distance au sol connue. Si aucune valeur n’ai fourni, une taille de cellule par défaut est calculée à l’aide de l’étendue de la zone d’analyse.
Types de Voronoï
La relation entre la distance et la pondération est définie par la valeur du paramètre Voronoi Type (Type de Voronoï). Ce paramètre définit la fonction d’influence \(F_i(x)\). Conceptuellement, tous les types respectent la même règle de décision, à savoir, attribuer un emplacement au site dont le score d’influence est le plus faible. Ils diffèrent dans la manière dont la distance et les attributs sont combinés.
Non pondéré
La formule est la suivante : \(Influence = d\)
Le comportement de ce type est celui du diagramme de Thiessen standard. L’influence est déterminée uniquement par la proximité géométrique. Les pondérations sont ignorées. Les limites sont des lignes droites équidistantes entre les points.
Pondéré multiplicatif
La formule est la suivante : \(Influence = d \times w\)
Le comportement de ce type est celui d’un modèle gravitationnel. Il convient aux analyse de marché et de la grande distribution. Des pondérations supérieures réduisent la friction de la distance, donnant l’impression que l’installation est plus proche. Un magasin avec une pondération de 2 a une portée deux fois moindre qu’un magasin avec une pondération de 1. Les limites sont généralement des arcs circulaires.
Pondéré additif
La formule est la suivante : \(Influence = d - w\)
Le comportement de ce type est celui d’un modèle de croissance. Il est utilisé pour l’expansion physique ou la capacité de service. La pondération sert de rayon d’avance ou initial. La limite est déterminée par la différence entre les pondérations. Les limites sont des lignes hyperboliques ou droites.
Pondéré par puissance
La formule est la suivante : \(Influence = d^2 - w^2\)
Le comportement de ce type suit celui de la géométrie de Laguerre. Il s’agit d’une variante de la pondération additive qui utilise des valeurs au carré comme exposants. Contrairement aux types multiplicatifs ou additifs, qui créent des limites courbes, les diagrammes de puissance génèrent des limites en lignes droites.
Expression personnalisée
Permet d’utiliser une formule personnalisée. Vous définissez le comportement en fonction d’une expression que vous fournissez.
Voici quelques exemples d’expressions personnalisées :
Utilisez \(d + (w \times k)\), qui combine distance, pondération et coefficient dans une même expression.
Utilisez \(-\dfrac{w}{d^4}\) ou \(-\dfrac{w}{d^2}\) pour sélectionner le signal radar ou d’antenne le plus puissant. Le signe négatif sert à inverser une fonction de force décroissante afin que les signaux plus forts génèrent des scores d’influence plus faibles, conformément à la règle d’allocation du score le plus bas de l’outil.
Utilisez \(\dfrac{d}{\sqrt{w} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{w}}} \times k}\) pour la modélisation de l’accès aux établissements de santé.
Vous pouvez également inclure des opérateurs et des fonctions dans des expressions personnalisées pour contrôler et modifier le comportement des pondérations et coefficients. Par exemple, les expressions peuvent utiliser des fonctions et constantes telles que \(\exp(\cdot)\), \(\log(\cdot)\), \(\operatorname{abs}(\cdot)\), \(\pi\) et le nombre d’Euler \(e\).
Exemples de calculs
Soit deux sites, A et B, et un emplacement \(p\). Les distances entre \(p\) et les sites sont de \(d_A = 1200\) mètres et \(d_B = 900\) mètres.
Voronoï non pondéré
\(F_A = 1200\), \(F_B = 900\).
Par conséquent, l’emplacement \(p\) est attribué au site B.
Voronoï pondéré additif
Supposons que la capacité du site A soit \(w_A = 500\) et que celle du site B soit \(w_B = 100\).
Par conséquent :
\(F_A = 1200 - 500 = 700\)
\(F_B = 900 - 100 = 800\)
Dans ce cas, même si B est plus proche, A possède une pondération supérieure et un score d’influence inférieur. Par conséquent, l’emplacement \(p\) est attribué au site A.
Voronoï pondéré multiplicatif
Soit les mêmes pondérations qu’auparavant, où \(w_A = 500\) et \(w_B = 100\) :
\(F_A = 1200 \times 500 = 600{,}000\)
\(F_B = 900 \times 100 = 90{,}000\)
Ici, le site A exerce une influence plus importante sur le site et, par conséquent, l’emplacement \(p\) est attribué au site B.
Voronoï pondéré par puissance
Avec les mêmes pondérations, les formules deviennent :
\(F_A = (1200 \times 1200) - (500 \times 500) = 1{,}190{,}000\)
\(F_B = (900 \times 900) - (100 \times 100) = 800{,}000\)
Dans ce cas, le site B gagne.
Expression personnalisée
Soit une expression personnalisée où :
\(F(d,w,k) = \dfrac{d^2}{\max(w,k)}\)
Si \(w_A = 2\), \(w_B = 1\) et \(k = 1\), alors :
\(F_A = \dfrac{1200^2}{2} = 720{,}000\)
\(F_B = \dfrac{900^2}{1} = 810{,}000\)
Le site A est sélectionné dans ce cas.
Fonctionnement du paramètre Voronoi Order (Ordre de Voronoï)
Le paramètre Voronoi Order (Ordre de Voronoï) définit le classement voisin utilisé pour l’allocation. Une valeur de 1 correspond à l’allocation classique. Cela signifie que chaque emplacement est affecté au site le plus influent, à savoir, le plus proche selon la fonction d’influence sélectionnée. Une valeur de 2 attribue chaque lieu à son deuxième site le plus influent et une valeur de 3, à son troisième site le plus influent. L’utilisation de valeurs supérieures à 1 peut être appliquée à des scénarios tels que la modélisation des installations de secours et la planification de la redondance.
Conceptuellement, pour chaque emplacement, l’outil calcule les scores d’influence $(F_i(x))$de tous les sites, les classe de manière croissante et sélectionne le $k$e site classé comme cible d’allocation si l’ordre correspond à \(k\).
Paramètres de distance, type de Voronoï et ordre
Modifier le paramètre Distance Method (Méthode de calcul de distance) modifie le mode de calcul de la distance. Sélectionner l’option Planar (Planaire) rend l’outil sensible au choix de projection et à l’échelle, tandis que l’option Geodesic (Géodésique) permet à l’outil d’effectuer des calculs stables sur de grandes étendues. Modifier le paramètre Distance Unit (Unité de distance) met à l’échelle les valeurs numériques de distance et, par conséquent, affecte les expressions pondérées et personnalisées qui combinent distance et conditions des attributs. Utiliser des unités cohérentes est essentiel pour une pondération interprétable. Modifier le paramètre Voronoi Type (Type de Voronoï) modifie la manière dont les attributs du site concurrencent la distance. Augmenter la valeur du paramètre Voronoi Order (Ordre de Voronoï) déplace l’allocation vers des sites moins préférés. Utilisez le paramètre Voronoi Combination (Association de Voronoï) pour déterminer si la sortie représente uniquement ce classement ou un ensemble cumulatif de classements jusqu’à celui-ci.
Applications possibles
Voici quelques applications possibles de cet outil :
Planification urbaine et régionale : partitionnez les zones de service en fonction de la capacité des installations (par exemple, en attribuant des quartiers à des écoles, bibliothèques ou centres de services publics), en tenant compte de la taille du site ou du personnel. Les sorties d’ordre supérieur prennent en charge la planification de la redondance pour les scénarios de dépassement.
Modélisation de l’accès aux soins de santé et de la captation : allouez la population aux cliniques ou hôpitaux, en pondérant par nombre de lits, capacité des prestataires ou disponibilité des spécialités.
Gestion des urgences et intervention d’urgence : affectez les zones de transit et les ressources où l’influence de l’installation dépend de l’équipement, du personnel ou de la disponibilité. Les allocations de second ou troisième ordre représentent les sites de repli si les sites principaux ne sont pas disponibles.
Analyses de marché et de la grande distribution : délimitez les zones de chalandise des magasins en utilisant le volume de ventes ou le chiffre d’affaires comme pondération et en prenant en charge l’analyse de la concurrence, la modélisation de l’influence du marché et la planification du territoire. Les magasins plus grands attirent au-delà de ce que la distance seule prédit.
Gestion environnementale et protection de l’environnement : allouez l’influence de l’observation pour les réseaux de capteurs ou les stations d’échantillonnage, où les pondérations reflètent la sensibilité des capteurs ou l’intensité de l’échantillonnage. Cela améliore le partitionnement spatial pour la conception de la surveillance.
Analyse de l’accessibilité et de l’équité : créez des surfaces d’allocation intégrant à la fois distance et capacité, pour permettre les comparaisons entre l’installation la plus proche et l’installation effective (la plus proche selon un modèle d’influence ajusté en fonction de la capacité). Cela est particulièrement pertinent pour les services publics et la planification de la mobilité.
Références supplémentaires
Aurenhammer, F. (1987). Power diagrams: Properties, algorithms and applications. SIAM Journal on Computing, 16 (1), 78-96.
Aurenhammer, F., & Klein, R. (1996). Voronoi diagrams. FernUniversität, Fachbereich Informatik.
Boots, B. N. (1980). Weighting Thiessen polygons. Economic Geography, 56 (3), 248-259.
Lee, D. T., & Drysdale, R. L., III. (1981). Generalization of Voronoi diagrams in the plane. SIAM Journal on Computing, 10 (1), 73-87.
Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K., & Chiu, S. N. (2009). Spatial tessellations: Concepts and applications of Voronoi diagrams (2nd ed.). Wiley.