コンポジット インデックスの計算の仕組み
インデックスとは、対象物を測定する数値のことであり、通常は社会的な脆弱性やビジネスの革新性など、直接的に計測したり定義したりするのが困難なもののために使用されます。 コンポジット インデックスの計算 ツールは、複数の変数を 1 つの変数に結合することで、インデックスを作成します。 このツールでは、変数の前処理、変数の結合、インデックスの後処理の 3 つの手順から成るワークフローを行います。
インデックスの適切な構築は、設計時にその目的を熟考することと、伝達時にプロセスを透明化することにかかっています。 コンポジット インデックスの計算 ツールを使用すると、適切なインデックスの構築プロセスへと導かれ、結果を可視化し理解できるようになります。
ArcGIS でコンポジット インデックスを作成するためのベスト プラクティスの詳細
適用例
コンポジット インデックスの計算 ツールの適用例を以下に示します。
環境保護部門は、一般の人々に政策や汚染について知らせるために大気質インデックスを作成したいと考えます。 環境保護部門では、基準の汚染物質に対応する監視ステーションからデータを収集します。 アナリストは コンポジット インデックスの計算 ツールを実行して、個々の汚染物質インジケーターを 1 つの大気質インデックスに結合することができます。
公衆衛生局は、呼吸器健康リスク インデックスを作成して、環境面の不公正をハイライトしたいと考えています。 このために、アナリストは コンポジット インデックスの計算 ツールを複数回実行して、複数のサブインデックスによる 1 つのインデックスを作成できます。ここでは、ツールの最初の実行時にさなざまなドメインのサブインデックスが作成され、ツールの最終実行時に最終的なインデックスが作成されます。
所管ではインフラ整備の補助金申請を行いたいと考えており、資格を得るために、十分なサービスを受けていないコミュニティーにリソースが行き渡るようになることを証明する必要があります。 インフラストラクチャーと人口統計の変数を組み合わせたインデックスを作成して、最もサービスが行き届いていない地域を特定できます。
変数の事前処理の方法
適切なインデックスを作成するには、変数が互換性のある縮尺である必要があります。 このために、このツールには事前処理のオプションが提供されています。異なる入力変数を共通の測定スケールに合わせることで、適切に結合できるようになります。 このツールではオプションで変数を反転させることもできます。これにより、各変数の高い値の意味がお互いに一致するようになります。
注意:
フィールドの変換 ツールを使用して、変数を変換します。
変数の方向を反転する事前処理
各変数の低い値と高い値の意味を検討し、これらが相互に一貫性を持つようにします。 たとえば、社会的脆弱性のインデックスでは、世帯所得平均の低い場所の方が脆弱ですが、保険に加入していない人の割合が低い場所の方が脆弱性は低くなります。これらの脆弱性の向きは、インデックスの目的のコンテキストにおいて反対を向いているのです。
各変数をツールに入力するときに、変数を反転させる必要があるかどうかを検討します。この場合は、方向の反転 チェックボックスをオンにして、変数の向きを反転させます。
変数の逆数は、各値に -1 を乗算し、変数の元の範囲間でフィールドをスケール処理して算出されます。
同じ縮尺を使用するよう変数を事前処理
入力変数のスケール方法 パラメーターを使用して、共通のスケール方法を選択します。 選択した方法はすべての変数の適用され、結果のフィールドが出力で提示されます。 次のオプションを利用できます:
最小-最大 - 各変数の最小値と最大値を使用して、変数が 0 ～ 1 でスケールされます。 この方法は、入力変数の分布を保持し、解釈しやすい 0 から 1 の縮尺にスケール処理するので、最も単純です。
この方法は次の式を適用します。
この方法では、変数の分布が保持されるので、分布の偏りや外れ値の影響を受ける可能性があります。 たとえば、非常に高い値を持つ外れ値が 1 つある場合、その外れ値は 1 の値を受け取りますが、残りの値は類似しゼロに近い値になります。 変数を事前処理してばらつきを減らすことで、この変数が結果のインデックスに与える影響を少なくすることができます。
この方法は、入力データの最小値と最大値にも依存するので、変数の最小値と最大値が時間ステップごとに変化する可能性がある場合、複数の期間にわたるインデックスの比較にはあまり適していません。
最小-最大 (カスタム データ範囲) - 各変数に設定可能な最小値と最大値を使用して、変数が 0 ～ 1 でスケール処理されます。 この方法は、設定可能な最小値と最大値が変数の範囲内に存在しない場合や、追加データの収集時に比較可能なままでなければならないインデックスを作成する場合に役立ちます。
この方法は次の式を適用します。
設定可能な最小値と最大値の設定には、複数の用途があります。
時間をまたいでインデックスを比較するときに、そのインデックスが別の期間にあったかもしれない値の範囲を現在のデータが表していない場合。
参照統計 (非常に広い分析範囲の最小値と最大値など) が存在する場合。 たとえば、分析範囲がフランスに設定されたインデックスは、ヨーロッパのすべての国を基準とする最小値と最大値を使用する可能性があります。
人の発達インデックスにおける野心的な平均余命など、野心的なベンチマークが存在する場合。 データそのものには野心的な平均余命が含まれない可能性がありますが、それでもベンチマークはインデックスのコンテキスト設定に使用されます。
変数の理論上の最小値と最大値のアプリオリな知識がある場合。たとえば、地球上の絶対温度の範囲を知っていて、もっと小さい範囲の日々の記録を使用する場合など。
パーセンタイル - 変数を 0 ～ 1 のパーセンタイルに変換します。 この方法は、各変数のランクが実際の値よりも重要な場合に役立ちます。 また、変数が一様分布に変換されるので、外れ値や傾斜分布に対しても堅牢です。
パーセンタイルにはさまざまな定義があります。 この方法は次の式を使用します。
\[ P = \frac{R - 1}{N - 1} \]ここで、\(R\) は等級ランク (同点の場合は最小ランク値を使用)、\(N\) は値の数、\(P\) は結果のパーセンタイルです。
パーセンタイルは、変数内の他の値に対する値の位置を示します。 たとえば、収入 $50,000 and $60,000 ドルの差はそれほど大きくないかもしれませんが、その間の値を持つフィーチャが多数あると、パーセンタイルの差は大きくなる可能性があります。
ランク - 入力値をランク付けします。変数の中の最低値に 1 の値を割り当て、値ごとに 1 ずつ増分させていきます。 この方法は、各変数のランクが実際の値よりも重要な場合に役立ちます。 この方法も、外れ値や傾斜分布に対して安定しています。
この方法はランク平均方法を使用します。タイが観測されたら平均ランク値を割り当てることで、タイを解決します。
この方法はパーセンタイルとよく似ていますが、値の範囲が 1 からテーブル内のレコード数までです。
Z スコア - Z スコアの式を使用して各変数を標準化します。 この方法は、各値を変数の平均に対して考慮する必要がある場合に役立ちます。 たとえば、貧困線を下回る人の割合が全国平均より高いのか、低いのか、平均との差はどの程度なのかを知りたい場合です。
この方法は次の式を使用します。
\[ x' = \frac{x - \bar{x}}{\sigma_x} \]ここで \(x'\) は Z スコア、\(x\) は元の値、\(\bar{x}\) は平均値、\(\sigma_x\) は標準偏差です。
Z スコアは標準偏差数 (データ内の分散の測定) で表します。 Z スコアが 2 の場合はフィーチャが平均を上回る 2 つの標準偏差だという意味で、Z スコアが -1 の場合は平均を下回る 1 つの標準偏差だという意味です。 この方法は、最小-最大の方法と比べると、外れ値による影響を受けにくいと考えられます。 ただし、負の値が生成されるので、乗法結合法との互換性がなくなります。
Z スコア (カスタム) - カスタム平均とカスタム標準偏差で Z スコアの式を使用して各変数を標準化します。 この方法は、参照統計情報との比較または時間をまたぐ比較を行うインデックスを作成する場合に役立ちます。
この方法は次の式を使用します。
ここで \(x'\)' は標準化後の値、\(x\) は元の値、\(\bar{x_c}\) はカスタム平均値、\(\sigma_c\) はカスタム標準偏差です。
カスタム標準化 パラメーターを使用して、参照の平均と標準偏差を設定します。
たとえば、最初の年を比較ポイントとして使用して次の 10 年間の更新を行う年次発達インデックスを作成するには、変数ごとの実際の平均と標準偏差を使用する Z スコア オプションを使用して、最初の年のインデックスを作成します。 さらに、その後の年の カスタム標準化 パラメーターで、同じ平均と標準偏差を使用します。 これにより、最初の年の分布を比較対象として、すべての年の結果が比較可能になります。
この方法は、データ上の平均と同じでないことがある理論上の平均との比較にも役立ちます。 たとえば、国全体の失業率は 8 パーセントなのに、データ上の平均失業率が 13 パーセントである場合、Z スコアは国全体の平均や標準偏差に関して設定することができます。データ内のサンプルは、全国平均よりも高い失業率を反映してもっとプラスの値になります。
閾値によるフラグ (バイナリー) - 指定された閾値よりも値が上なのか下なのかを示すバイナリ値 (0、1) に変数を変換します。 この方法は、特定の値を強調することが重要であり、値のばらつきが問題ではない場合に便利です。
このオプションにより 閾値のスケール方法 パラメーターがアクティブになります。これにより、スケールされた変数の範囲に閾値を設定できるようになります。
この方法にはさまざまな用途があります。
大気質ドメインの専門家は、複数の大気質変数について、人の健康上の閾値を超えている場所をハイライトしたいと考えています。 この場合は 閾値のスケール方法 パラメーターの変数を RAW に設定し、閾値を設定します。
政府機関では、複数のドメインで非常に脆弱性が高い場所をハイライトしたいと考えています。 この場合は 閾値のスケール方法 パラメーターをパーセンタイルに設定し、各変数の閾値を 0.9 より大きい に設定して、最も恵まれない場所をハイライトします。
国際組織では、人の発達インジケーターで一貫して平均を下回っている国々をハイライトしたいと考えています。 この場合は 閾値のスケール方法 パラメーターを Z スコアに設定し、閾値を 0 より小さい に設定して、平均を下回る場所をハイライトします。
この方法は、合計結合オプションと組み合わせて、1 つの場所が閾値を超える回数をカウントする場合に非常に役立ちます。
この方法は入力変数の外れ値の影響は受けませんが、各変数がバイナリー (0、1) 形式に変換されるので、各入力変数の間隔レベルの情報が失われます。
生値 - 変数の元の値を使用します。
この方法は、すべての変数が同じ縮尺にある場合のみ使用してください。 たとえば、すべての変数が、パーセンテージや百万分率などの標準単位である場合です。 この方法は、ツールの実行前に、変数の標準化や変換がすでに行われている場合にも有効です。
注意:
選択したスケーリング オプションがすべての変数に適用されます。 各変数に別々のスケーリング オプションを適用する必要がある場合は、このツールを使用する前に、フィールドの標準化 や フィールドの再分類 といった他のツールを使用してください。
フィールドに Null が含まれている場合、このツールではレコードのインデックスを計算することができません。 必要に応じて、欠損値の補完 ツールを使用して値を転嫁することを考えるか、そうでない場合は補完データを見つけてください。
ツールで変数を結合して 1 つのインデックスを作成する方法
変数が事前処理されて共通の縮尺に揃うと、変数が集約されて 1 つの値が作成されます。 スケール済み変数の結合方法 パラメーターには次のオプションがあります。
合計
平均
乗算
幾何学的平均値
合計 および 平均 オプションは加法、乗算 および 幾何平均 オプションは乗法であると見なされます。
加算法
合計値 と 平均値 を組み合わせた方法は、解釈が比較的簡単で、一般的にさまざまなインデックスで使用されます。 これらの方法はほぼ同じです。スケールのみが異なる同じ形状の分布が出来上がるので、結果のインデックス マップも同じ表示になります。 値が異なるだけです。
これらの方法では、ある変数の高い値を別の変数の低い値で補正することができます。
乗算法
乗算 および 幾何平均 方法の使用にはもっと注意を要します。結果のインデックス値が加法の使用時よりもはるかに高い値になる可能性があり、負の値を使用するとうまく機能しない方法だからです。
こうした短所もありますが、乗法には、1 つの変数の高い値が別の変数の低い値を補正できないという長所があります。1 つのインデックス値を高くすると、複数の変数が必ず高い値になります。
注意:
変数のスケール方法と結合方法の事前設定 パラメーターは、インデックスの作成でよく使用されているアプローチに基づいて事前設定と結合方法を設定するテンプレートを提供しています。
加重
各要素がインデックスの一部となる中で、その相対的な重要度を表すために、変数が重み付けされることがあります。 デフォルトではすべての加重は 1 に設定され、各変数の加重は均等になります。 ただし、場合によっては、他の変数と比較した変数の相対的な寄与の違いを示すことが重要です。 変数の 1 つを重み 2 に変更し、他の変数を 1 のままにすることで、その変数が、最終的なインデックスへの寄与において他の変数の 2 倍重要であるとみなされる必要があることを示します。
合計で 1 になる加重を使用することもできます。たとえば、3 つの変数が使用されており、そのうちの 1 つの変数がそれ以外の 2 つの変数よりも 2 倍重要であると思われる場合は、加重の値として 0.5、0.25、0.25 を使用できます。
加法では、各変数とそれぞれの加重を掛け合わせることで、加重が適用されます。 乗法では、各変数をそれぞれの加重で累乗することで、加重が適用されます。
重みは、結果として得られるインデックスに大きく影響します。 同じ加重を維持しようと、加重を必要な変数に変更しようと、加重を使用すれば分析に主観性が加わります。 また、変数間の分散の相関や差異によって、ユーザーが無意識に重み付けを行うこともあります。 インデックスの相関や分散の影響の詳細については、コンポジット インデックス作成のためのベスト プラクティスに関するドキュメントをご参照ください。
インデックスの事後処理の方法
変数が事前処理されて未処理のインデックスに結合されると、事後処理によってインデックスがより理解しやすくなる場合があります。 出力設定 パラメーター カテゴリーのオプションを使用して、方向の調整、スケールの調整、値の分類を行うことができます。
インデックスの反転
インデックスの目的を考慮し、高いインデックス値が意図どおりかどうかを評価します。 出力インデックス値の反転 パラメーターのチェックボックスを使用して、オプションで RAW インデックスを反転させ、大きいインデックス値が小さい値を表すように (またはその逆に) することができます。
注意:
乗法でのインデックス値の反転を行う際には注意が必要です。これらの結果は入力変数の反転と異なるためです。
最小値と最大値を使用したインデックスのスケール処理
出力インデックスの最小値と最大値 パラメーターを使用して、出力インデックスの範囲を指定します。 このオプションは、選択された事前設定や結合方法に関係なく、スケールがわかりやすくするように役立てることができます。 たとえば、最小値 の値が 0 で 最大値 の値が 100 を指定して、未処理のインデックスをこの範囲にスケール処理します。 このオプションでは次の式を使用します。
ここで、\(x\) は元の値、\(min(x)\) はインデックスで検出された最小値、\(max(x)\) はインデックスで検出された最大値、\(a\) は指定された最小値、\(b\) は指定された最大値、\(x'\) はスケール処理された値です。
インデックスの分類
RAW インデックスの出力に加えて、オプションで出力インデックスを分類し、結果の確認に役立てることができます。 追加分類出力 パラメーターでは、等間隔、等量分類、標準偏差、カスタム という 4 つの方法を使用できます。それぞれで出力に追加フィールドが作成されます。
等間隔方法では、インデックス範囲が同じ長さの間隔に区切られます。
等量方法では、値がクラスに分けられ、各クラスに同じ数のフィーチャまたは行が含まれます。 この方法ではインデックス パーセンタイル レイヤーと似たマップが作成されますが、連続パーセンタイル分布とは異なり、クラスが使用されます。 このオプションを使用して、クラス数に基づき、五分位 (5 クラス)、十分位 (10 クラス)、またはその他のタイプの等量分類のマップを作成します。
標準偏差方法では、インデックスを分類して、各値の平均からの位置である標準偏差の数値を示します。
カスタム クラス方法では、カスタム クラス範囲とカスタム ラベルを使用して、連続インデックスを分類します。 数値ラベルまたはテキスト ラベル (低、中、高など) を追加できます。
結果の解析
結果のインデックスを可視化して調査することは、インデックスを将来的に使用できるようにする上で重要なステップです。 このツールでは、結果の解釈に役立つように、さまざまなマップやチャートが作成されます。
出力レイヤー
(入力に追加するのではなく) 出力フィーチャまたはテーブル パラメーターをフィーチャクラスまたはシェープファイルに設定すると、出力グループ レイヤーに含まれる複数のレイヤーが作成されます。
ヒント:
Ctrl と Shift のショートカットを使用して、グループ レイヤー内のレイヤーをすばやく表示したり折りたたんだりできます。
インデックス レイヤーには、オプションのスケール処理後または反転後のインデックス値の分布が表示されます。 このレイヤーは、インデックスの結果の評価に使用できる連続コロプレス マップを提供します。 マップを使用して、インデックスの分布と外れ値を維持しながら、インデックス値の上限と下限を評価できます。
インデックス パーセンタイル レイヤーには、インデックス値の間の相対位置 (ランク) が表示されます。 作成されるマップの色はインデックス値のランクに対応しているため、分布状態や実際のインデックスの差異感は維持されません。 この方法は、インデックス ランクに基づいて場所同士がどのように関連するのか評価する場合に使用します。
インデックス等間隔クラス レイヤーには、値のインデックス分布に基づいてクラスが表示されますが、クラスの出力インデックス番号 パラメーターで設定した等間隔に基づいて、値がクラスにグループ化されています。 このレイヤーはインデックス レイヤーの 1 つの分類形式です。
インデックス等量レイヤーは、各クラスに同じ数のフィーチャを割り当てるもので、インデックス パーセンタイル レイヤーの 1 つの分類形式です。 クラスの数は クラスの出力インデックス番号 パラメーターで設定します。
インデックス標準偏差クラス レイヤーには、インデックスの平均値を上回る場所と下回る場所が表示されます。 極端に大きいまたは極端に小さいインデックス値は配色で強調することができ、さらに調査が必要だと思われる場所の特定に役立ちます。
インデックス カスタム クラス レイヤーには、マップ上で指定されたカテゴリーが表示されます。このレイヤーは、計画介入に基づいて連続するインデックスを不均一なカテゴリーに分割する場合など、多くの目的に使用できます。 たとえば、クラスには低、中、高という名前を付けることができます。
出力チャート
このツールでは、インデックスに関するさまざまな質問に答えるのに役立つチャートが作成されます。
インデックスの分布の調査
グループ レイヤー出力の主インデックス レイヤーには、インデックスの分布のヒストグラムが含まれています。 これをマップと組み合わせることで、結果の分布についての理解を深めるために役立ちます。
入力変数の分布の調査
主インデックス レイヤーには、入力変数の 2 つの箱ひげ図が含まれています。1 つはスケール処理前の変数分布を視覚化し、もう 1 つはスケール処理後の変数分布を視覚化しています。 これら 2 つのチャートを並べて比較することで、選択したスケール処理法によって入力変数がどのように変更されたかを評価する際に役立つことがよくあります。 これらのチャートを並べて比較すると、選択したスケール処理法が変数の分布に目的の効果をもたらしたかどうかを評価することができます。
これらの箱ひげ図を使用して外れ値を調査することもできます。このためには、入力変数の箱ひげ図で外れ値を選択し、マップ上でその場所を確認します。 次に、事前処理された変数の箱ひげ図を表示して、選択した事前処理方法によって外れ値の影響が修復されたかどうかを確認できます。
各フィーチャの結果についての調査
フィーチャ レイヤーには、各フィーチャのインデックスと入力変数の値を視覚化するポップアップがあります。 マップ操作ツールを使用して、フィーチャをクリックし、ポップアップを使用して、結果を表示します。
インデックスに影響する変数の調査
インデックス レイヤーには、インデックスと使用される各変数の間の相関関係を表示する散布図マトリックスが含まれています。 インデックスに対して高い相関関係を持つ変数は、一般にはインデックスに最も大きく寄与する変数に対応しています。 このため、インデックスとの相関関係が低い変数は、インデックスに与える影響が小さいと見なされることになります。 さらに、内部変動が小さい変数があるかどうかを考慮します。変動の少ない変数はインデックスに有意な情報を提供する可能性が低いからです。
視覚化されたマップとデータによって、インデックスの調整や改良がさらに促されます。 インデックスの作成と評価を行う場合のその他の注意事項の詳細については、ベスト プラクティスのテクニカル ペーパーをご参照ください。
参考資料
Organisation for Economic Co-operation and Development Handbook on Constructing Composite Indicators: Methodology and User Guide をご参照ください。