Formeln für die Transformationsfunktionen
Mit Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.
In diesem Abschnitt werden die Formeln erklärt, die für die Transformationsfunktionen im Werkzeug Erneut skalieren nach Funktion verwendet werden. Die Formeln für die Transformationsfunktionen werden als Map Algebra-Ausdrücke in Spatial Analyst dargestellt.
Die allgemeine Formel für jede Transformationsfunktion wird identifiziert. Standardmäßig wird die allgemeine Formel geändert, um sie an das Minimum (lowerThreshold) und das Maximum (upperThreshold) des Eingabe-Datasets anzupassen. Außerdem wird unten gezeigt, wie die Standardparameter bestimmt werden.
Mithilfe der allgemeinen Formel kann eine beliebige Anzahl von Funktionskurven definiert und ein beliebiger Teil der Funktionskurve erfasst werden. In der Standardversion der Formel gibt es nur eine Kurve für die Funktion, die an das Minimum und Maximum des Eingabe-Datasets angepasst wird. Dies hat zur Folge, dass zusätzlich zur Anwendung der linearen Skalierung der transformierten Werte Daten, die in unterschiedlichen Einheiten wie z. B. Celsius oder Fahrenheit dargestellt werden, dieselben Ausgabe-Auswertungswerte produzieren.
Anwenden einer Transformationsfunktion
Prinzipiell besteht die Anwendung einer Transformationsfunktion aus den folgenden Schritten:
Festlegen des Eingabe-Datasets und der Funktionsparameter
Anwenden der Transformationsformel
Lineares Skalieren der transformierten Werte auf den Auswertungsmaßstab
Die lineare Transformationsgleichung, die in Schritt 3 oben zum Skalieren der transformierten Werte auf den Auswertungsmaßstab verwendet wird, lautet wie folgt:
\(ScaledY = fromScale + (Y - min(Y)) * r\)
Dabei gilt:
\(Y = F(In)\); dies ist der transformierte Wert mit der Formel \(F\), wie in den folgenden allgemeinen Formen gezeigt, wobei \(In\) der Eingabewert ist
\(r\) ist das Ergebnis von \(\Large \frac {(toScale - fromScale)}{(max(Y) - min(Y))}\).
\(min(Y)\) ist der Minimalwert von \(Y\).
\(max(Y)\) ist der Maximalwert von \(Y\).
\(fromScale\). ist das Minimum des Auswertungsmaßstabs (z. B. "1").
\(toScale\) ist das Maximum des Auswertungsmaßstabs (z. B. "10").
Exponentiell
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Exponential aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(Exp((In – inShift) * baseFactor)\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(inShift\) ist der von den Eingabewerten subtrahierte Wert.
\(baseFactor\) ist ein Multiplikator für die verschobenen Eingabewerte, der steuert, wie steil die Exponentialfunktion ansteigt.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(inShift\) und \(baseFactor\) werden wie folgt berechnet.
\(inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)\)
und
\(baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)\)
Dabei gilt:
\(A = \Large \frac {(minIn * Ln(toScale) - maxIn * Ln(fromScale))}{(Ln(toScale) - Ln(fromScale))}\)
\(B = \Large \frac {(minIn * Ln(fromScale) - maxIn * Ln(toScale))}{(Ln(fromScale) - Ln(toScale))}\)
\(C = \Large \frac {(Ln(toScale) - Ln(fromScale))}{(maxIn - minIn)}\)
\(D = \Large \frac {(Ln(fromScale) - Ln(toScale))}{(maxIn - minIn)}\)
\(Ln\) ist der Logarithmus eines Wertes mit der Basis e.
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
Gauß
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Gaussian aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(Exp(-Spread * Square(In - MidPoint))\)
Dabei gilt:
\(Spread\) ist der Parameter "Spanne", der die Steilheit der Abnahme vom Mittelpunkt steuert.
\(In\) ist der Eingabewert.
\(MidPoint\) ist der Parameter "Mittelpunkt", der das Zentrum der Gauß'schen Kurve definiert.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(Spread\) und \(MidPoint\) werden wie folgt berechnet.
\(Spread = Ln(10) * 4 / Pow(MidPoint - minIn, 2)\)
und
\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)
Dabei gilt:
\(Ln(10)\) ist der Logarithmus von 10 mit der Basis e.
\(Pow(MidPoint - minIn, 2)\) ist der Wert von \(MidPoint - minIn\) potenziert mit 2.
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
Large
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Large aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, - Spread))\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(MidPoint\) ist der Parameter "Mittelpunkt", der den Übergangspunkt der Funktion definiert.
\(Spread\) ist der Parameter "Spanne", der steuert, wie schnell die Präferenz zu- und abnimmt.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(Spread\) und \(MidPoint\) werden wie folgt berechnet.
\(Spread = 5\)
und
\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)
Dabei gilt:
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
Linear
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Linear aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeinen Formen der Formel je nach Neigungstyp lauten wie folgt:
Positive Neigung (Min < Max):
\(Con(In < Min, 0, Con(In > Max, 1, (In - Min) / Diff))\)
Negative Neigung (Min > Max):
\(Con(In > Min, 0, Con(In < Max, 1, (In - Min) / Diff))\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(Min\) ist das angegebene Minimum, das den ersten Punkt bestimmt, durch den die lineare Funktion führen muss.
\(Max\) ist das angegebene Maximum, das den zweiten Punkt bestimmt, durch den die lineare Funktion führen muss.
\(Diff\) gleich \(Max - Min\)
Standardwerte
Die Standardwerte von \(Min\) und \(Max\) werden wie folgt berechnet.
\(Min = minIn\)
und
\(Max = maxIn\)
Dabei gilt:
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
Logarithmus
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Logarithm aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(Ln((In – inShift) * baseFactor)\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(InShift\) ist der von den Eingabewerten subtrahierte Wert.
\(baseFactor\) ist der Multiplikator der verschobenen Eingabewerte, der den Anstieg der Logarithmusfunktion steuert.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(inShift\) und \(baseFactor\) werden wie folgt berechnet.
\(inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)\)
und
\(baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)\)
Dabei gilt:
\(A = \Large \frac {(minIn * Exp(toScale) - maxIn * Exp(fromScale))}{(Exp(toScale) - Exp(fromScale))}\)
\(B = \Large \frac {(minIn * Exp(fromScale) - maxIn * Exp(toScale))}{(Exp(fromScale) - Exp(toScale))}\)
\(C = \Large \frac {(Exp(toScale) - Exp(fromScale))}{(maxIn - minIn)}\)
\(D = \Large \frac {(Exp(fromScale) - Exp(toScale))}{(maxIn - minIn)}\)
\(Exp\) ist der Exponentialwert eines Wertes mit der Basis e.
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
LogisticDecay
Nachfolgend sind die Formeln für die Transformationsfunktion LogisticDecay aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(C / (1 + A * Exp((In – Min) * B))\)
Die Definitionen der Parameter in der Formel sind identisch mit denen von LogisticGrowth.
Hinweis:
In der Gleichung der Funktion LogisticGrowth werden die Berechnungen von Exponential über den Negativwert des Wertes zur Berechnung des Exponentialwertes bestimmt: Exp( - (In - Min) * B).
LogisticGrowth
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion LogisticGrowth aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(C / (1 + A * Exp( - (In – Min) * B))\)
Dabei gilt:
\(Min\) ist das angegebene Minimum, das den Startpunkt des logischen Wachstums bestimmt.
\(C\) ist die Kapazität oder obere horizontale Asymptote.
\(A\) bestimmt den Schnittpunkt, wenn \(In = Min\).
\(B\) bestimmt die Basis der Exponentialfunktion
Exp.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(C\), \(A\) und \(B\) werden wie folgt bestimmt.
\(C = 100\)
\(A = C / yInterceptPercent - 1\)
\(B = \Large \frac {Ln(A)}{(0.5 * (Max + Min) - Min)}\)
Dabei gilt:
\(yInterceptPercent\) ist der Prozentsatz des Y-Schnittpunkts, dividiert durch \(C\), das standardmäßig für
LogisticGrowthauf 1 und fürLogisticDecayauf 99 festgelegt ist.\(Min\) ist das angegebene Minimum, das standardmäßig auf den Minimalwert der Eingabe festgelegt ist.
\(Max\) ist das angegebene Maximum, das standardmäßig auf den Maximalwert der Eingabe festgelegt ist.
\(Ln(A)\) ist der Logarithmus von \(A\) mit der Basis e.
\(0.5 * (Max + Min)\) ist die X-Koordinate des Wendepunkts \(y = C / 2\), wodurch der Wendepunkt in die Mitte von \(Min\) und \(Max\) gesetzt wird.
MSLarge
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion MSLarge aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(Con(In > nMeans, 1 - (nStdv / (In - nMeans + nStdv)), 0)\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(nMeans\) entspricht \(meanMultiplier\) * Mittelwert.
\(nStdv\) entspricht \(STDMultiplier\) * Std., wobei sich Std. auf die Standardabweichung in der Gesamtpopulation bezieht.
Standardwerte
meanMultiplier und STDMultiplier sind standardmäßig auf 1 festgelegt.
MSSmall
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion MSSmall aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(Con(In > nMeans, nStdv / (In - nMeans + nStdv), 1)\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(nMeans\) entspricht
meanMultiplier* Mittelwert.\(nStdv\) entspricht
STDMultiplier* Std., wobei sich Std. auf die Standardabweichung in der Gesamtpopulation bezieht.
Standardwerte
meanMultiplier und STDMultiplier sind standardmäßig auf 1 festgelegt.
Nahe
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Near aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(1.0 / (1.0 + Spread * Pow(In - MidPoint, 2))\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(Spread\) ist der Parameter "Spanne", der die Steilheit der Abnahme vom Mittelpunkt steuert.
\(MidPoint\) ist der Parameter "Mittelpunkt", der das Zentrum der Kurve angibt.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(Spread\) und \(MidPoint\) werden wie folgt berechnet.
\(Spread = 36 / Pow(MidPoint - minIn, 2)\)
und
\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)
Dabei gilt:
\(Pow(MidPoint - minIn, 2)\) ist der Wert von \(MidPoint - minIn\) potenziert mit 2.
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
Potenz
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Power aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(Pow(In – inShift, Exponent)\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(inShift\) ist der von den Eingabewerten subtrahierte Wert.
\(Exponent\) ist der Exponent, auf den die Funktion erhöht wird.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(inShift\) und \(Exponent\) werden wie folgt berechnet.
\(inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)\)
Dabei gilt:
\(A = Con(fromScale == 1, minIn - 1, minIn)\)
\(B = Con(toScale == 1, minIn - 1, minIn)\)
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
und
\(Exponent = Con(toScale > fromScale, C, D)\)
Dabei gilt:
\(C = Con(fromScale == 0, C1, Con(fromScale == 1, C2, 2))\)
\(C1 = Con(toScale <= 1, 1, Ln(toScale) / (maxIn - inShift))\)
\(C2 = Ln(toScale) / Ln(maxIn - inShift)\)
\(D = Con(toScale == 0, D1, Con(toScale == 1, D2, 2))\)
\(D1 = Con(fromScale <= 1, 1, Ln(fromScale) / (maxIn - inShift))\)
\(D2 = Ln(fromScale) / Ln(maxIn - inShift)\)
\(Ln\) ist der Logarithmus eines Wertes mit der Basis e.
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
Small
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Small aufgeführt.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.
\(1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, Spread))\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(MidPoint\) ist der Parameter "Mittelpunkt", der den Übergangspunkt der Funktion definiert.
\(Spread\) ist der Parameter "Spanne", der steuert, wie schnell die Präferenz zu- und abnimmt.
Standardwerte
Die Standardwerte von \(Spread\) und \(MidPoint\) werden wie folgt berechnet.
\(Spread = 5\)
und
\(MidPoint = (maxIn + minIn) / 2\)
Dabei gilt:
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.
SymmetricLinear
Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Symmetrisch Linear aufgeführt.
Allgemeine Form
Der allgemeinen Formen der Formel für verschiedene Arten von Neigungen lauten wie folgt.
Für positive Neigungen (\(Min < Max\)):
\(Con(In < Min , 0, Con(In < MidP, (In - Min) / HDiff, Con(In > Max, 0, (Max - In) / HDiff)))\)
Für negative Neigungen (\(Min > Max\)):
\(Con(In < Max, 1, Con(In < MidP, (In - MidP) / HDiff, Con(In > Min, 1, (MidP - In) / HDiff)))\)
Dabei gilt:
\(In\) ist der Eingabewert.
\(Min\) ist das angegebene Minimum, das einen Punkt festlegt, durch den die Funktion \(SymmetricLinear\) führen muss.
\(Max\) ist das angegebene Maximum, das den anderen Punkt festlegt, durch den die Funktion \(SymmetricLinear\) führen muss.
\(Diff\) gleich \(Max - Min\)
\(HDiff\) gleich \(0.5 * Diff\)
\(MidP\) gleich \(Min + HDiff\)
Standardwerte
Die Standardwerte von \(Min\) und \(Max\) werden wie folgt berechnet.
\(Min = minIn\)
und
\(Max = maxIn\)
Dabei gilt:
\(minIn\) ist das Minimum der Eingabe.
\(maxIn\) ist das Maximum der Eingabe.