ホットスポット分析の比較の仕組み

ホットスポット分析の比較 ツールは、2 つのホットスポット分析結果レイヤーを比較して、その類似度と関連性を算出します。ホットスポット分析結果レイヤー間の類似度と関連性を求めるには、両方の入力レイヤーで対応するフィーチャ (およびその近傍) 間の有意水準カテゴリー (99% ホット、95% ホット、90% ホット、有意でない、90% コールド、95% コールド、99% コールド) を比較します。

2 つのホットスポット分析結果の比較

このツールを実行すると、ホットスポット結果間の全体の類似度と関連性を計測するためにグローバル類似度値とグローバル Kappa 値が算出されます。対応するフィーチャのペアごとにローカルバージョンの類似度と Kappa 値も算出されます。これにより、比較をマッピングして、グローバル値よりも類似度または関連性が高いエリアを求めるか、グローバル値よりも類似度または関連性が低いエリアを求めることができます。出力フィーチャには、ホットスポット結果が最も類似していないエリアをハイライト表示し、対応するすべてのフィーチャの有意水準ペアを集計するチャートとカスタムシンボルも含まれています。

入力ホットスポット結果レイヤーは必ず、ホットスポット分析 (Getis-Ord Gi*) ツールまたは 最適化ホットスポット分析 ツールの出力フィーチャになります。各結果のすべてのフィーチャは、有意水準カテゴリーを比較できるように、他の結果の対応する 1 つのフィーチャとペアにする必要があります。 2 つの入力ホットスポット結果のフィーチャが空間的に整列していない場合は (2 つのポリゴンの境界が同じでない場合など)、分析の前に 2 つのフィーチャレイヤーが交差し、フィーチャの交差部分で比較が行われます。

類似度と関連性

ホットスポット結果の類似度は、両方のホットスポット結果のホットスポット、コールドスポット、有意でないエリアが空間的に整列している度合を示し、結果の関連性 (または依存性) は、基になるホットスポット分析変数間の統計的依存性の度合を示します。この違いはわずかですが、重要です。この理由は、2 つのホットスポット結果に高い類似度が見られる (多数の対応するフィーチャの有意水準が同じである) が関連性と依存性がほとんどないことはよくあるためです。このことは以下の図の 2 つのホットスポット結果レイヤーで示されています。

それぞれの結果の 25 個中 23 個のポリゴンはカテゴリーが一致し、2 つの結果には高い類似度があります。ただし、それぞれの結果の 25 個中 24 個のポリゴンはコールドスポットであり、基になるホットスポット結果に依存性と関連性がない場合でも 23 個のポリゴンは一致することが予想されます。つまり、ほぼすべてのポリゴンのカテゴリーが一致しているにもかかわらず、結果に統計的関連性があるという証拠はありません。両方の変数はほぼ全体がコールドスポットで 1 つだけ孤立したホットスポットが存在しますが、これらの間の関係や関連性の根拠はありません。

結果に類似度はあるが関連性がない — 2 つのホットスポット結果レイヤーの赤色のポリゴンはホットスポット、青色のポリゴンはコールドスポットです。

以下に示す 2 つのホットスポット結果でも、25 個中 23 個のポリゴンが一致しているため、類似度は 1 つ目の結果セットと同じです。ただし、一致しているポリゴンのうち 22 個はコールドスポットで、1 つがホットスポットです。各結果でホットスポットが 2 つしかないため、ホットスポットが偶然これほど近接して整列する可能性はありません。これが結果間の基になる関係と関連性の根拠となります。関係は必ずしも因果関係があることを意味するわけではありませんが、一方の結果の値を変更することによってもう一方の結果の値に影響を及ぼすことが可能である場合があります。たとえば、一方のホットスポット結果が乳児死亡率のホットスポットとコールドスポットを表し、もう一方が汚染のホットスポットとコールドスポットを表している場合、変数間の強い関連性は、汚染度の低下によって乳児死亡率が減少する可能性があることを示唆しています。もう 1 つの例として、2 つのホットスポット結果が歴年の汚染度を表している場合、関連性は北部と東部への汚染度の移動として解釈することができます。

類似度と関連性のある結果

ホットスポット結果間の類似度は、0 ～ 1 の類似度値で計測されます。両方の結果で対応する多数のフィーチャの有意水準が同じである場合は、値が 1 に近くなり、対応する多数のフィーチャの有意水準が同じでない場合は、値が 0 に近くなります。関連性は Kappa 値で計測されます。関連性が強い結果の Kappa 値は 1 に近くなり、関連性がない (依存性がない) 結果の Kappa 値は 0 に近くなります (または、やや負の値になる)。 Kappa 値は、類似度値がリスケールされた値であり、ホットスポット結果間の統計的関連性を特定するために、空間クラスタリングとカテゴリー頻度を考慮します。参考のため、上記の 1 つ目のホットスポット結果セットの Kappa 値は 0 にほぼ等しく、2 つ目の結果セットの Kappa 値は 0.6 にほぼ等しくなります。

有意でないフィーチャを除外

上の例に示すように、ホットスポット結果が 1 つのカテゴリーで占められている場合、そのカテゴリーは有意でないことが最も一般的です。ただし、有意でないフィーチャが調査対象でない場合、両方の結果に有意でないエリアが多数存在することを単に示すためだけの類似度値と Kappa 値は不要です。これを回避するため、どちらのホットスポット結果も統計的に有意でない場合は、有意でないフィーチャを除外 パラメーターを使用して、対応するフィーチャのペアを比較の対象外にすることができます。対象外にした場合は、統計的に有意なホットスポットとコールドスポットだけを比較する条件付きの類似度と Kappa 値が算出され、類似度と関連性が正確に反映されます。有意水準カテゴリーの数と全体的な割合は類似度値と Kappa 値に影響を与えるため、多数の有意でないフィーチャを除外する前には結果を考慮してください。

ファジー類似度

対応する 2 つのフィーチャを比較した場合、その結果は、フィーチャの有意水準カテゴリーが同じであるかどうかという単純な二項対立 (はい/いいえ) にとどまらないことがあります。類似度と関連性の算出では、有意水準の類似度と空間近傍に基づいて対応するフィーチャ間の部分一致を許可するために、ファジー集合メンバーシップが使用されています。たとえば、99% ホットスポットは、他の 99% ホットスポットと完全に一致すると見なされ、95% ホットスポットと部分的に一致すると見なされ、99% コールドスポットと完全に一致しないと見なされます。また、対応する 2 つのフィーチャの有意水準が同じでなくても、近接フィーチャの有意水準が同じである場合、距離類似度に基づいて、これら 2 つのフィーチャは部分的に一致すると見なされます。対応する 2 つのフィーチャ間の全体的な類似度は、カテゴリーの類似度に距離類似度を乗算して求められます。算出の詳細については、以下の「空間 Fuzzy Kappa」のセクションをご参照ください。

カテゴリー類似度

各ホットスポット結果には 7 つの有意水準カテゴリーがあります。各カテゴリーには 99% ホットから 99% コールドまでの自然順があり、カテゴリー間の類似度はカテゴリーによって異なります。カテゴリー類似度加重により、異なる有意水準カテゴリー同士がどの程度類似していると見なすかを定義することができます。結果の各組み合わせ (90% コールドと 95% ホットなど) には、類似度を示す 0 ～ 1 の範囲のカテゴリー加重を割り当てる必要があります。加重が 1 に等しい組み合わせは完全一致と見なされ、加重が 0 に等しい組み合わせは完全に類似していないと見なされます。 0 から 1 までの間の値は、カテゴリー間の部分的な類似度の度合を示します。加重は対称である必要があり、たとえば、99% ホットと 95% ホットの間の加重は 95% ホットと 99% ホットの間の加重と等しくなければなりません。

2 つのカテゴリーの類似度加重が 1 に等しい場合、類似度と関連性の算出でこの 2 つは同じカテゴリーと見なされるため、加重を使用して異なるカテゴリーを組み合わせることができます。たとえば、95% の信頼度で 2 つのホットスポット分析を実行するには、カテゴリーのすべての組み合わせで 1 に等しい加重を使用して、90% コールド、有意でない、90% ホットの各カテゴリーを組み合わせることができます。類似度値と Kappa 値は 90% コールドカテゴリーと 90% ホットカテゴリーを有意でないものと見なします。さらに、有意でないフィーチャを除外した場合、有意でないカテゴリーと組み合わされているカテゴリーもすべて除外されます。

ホットスポットとコールドスポット間に大きな加重を割り当てることによって、ホットとコールドの関係を反転させることもできます。関係の反転が推奨されるのは、収入の中央値のコールドスポットが糖尿病のホットスポットと整列しているなど、ホットスポット結果に負の関係がある場合です。

注意:

カテゴリー類似度加重は、類似度値と Kappa 値の計算にのみ影響します。類似度加重を使用して有意水準カテゴリーを組み合わせた場合でも、これらのカテゴリーは、メッセージテーブル、出力レイヤーシンボル、チャートで別々のカテゴリーとして扱われます。詳細については、以下の「ツールの出力」のセクションをご参照ください。

カテゴリー類似度加重は 類似度加重方式 パラメーターを使用して指定します。次のオプションを利用できます:

ファジー加重 - 類似度加重はファジー (非バイナリー) になり、有意水準の近接性によって求められます。すべてのホットスポットは、すべてのコールドスポットおよび有意でないフィーチャと完全に類似していないと見なされます。その逆も同様です。 90%、95%、および 99% ホットスポットとコールドスポットの間の加重は、正規分布の上片側棄却域の臨界値の比率によって求められます (例: 95% ホットと 99% ホットの間の加重は 1.645/2.33 = 0.71)。各カテゴリー間のその他すべての加重については、以下の「加重マトリックスポップアウト」のセクションの 1 つ目の図をご参照ください。これがデフォルトです。
有意水準の完全な一致 - フィーチャが類似していると見なされるには、有意水準が同じでなければなりません。たとえば、99% ホットスポットは、95% および 90% ホットスポットと完全に類似していないと見なされます。
90% 有意、95% 有意、99% 有意の組み合わせ - 90%、95%、および 99% ホットスポットであるフィーチャは互いに完全に類似していると見なされ、90%、95%、および 99% コールドスポットであるすべてのフィーチャは互いに完全に類似していると見なされます。このオプションでは、有意性が 90% 以上のすべてのフィーチャは同じである (統計的に有意である) と見なされ、信頼度が 90% 未満のすべてのフィーチャは同じである (有意でない) と見なされます。
95% 有意と 99% 有意の組み合わせ - 95% および 99% ホットスポットであるフィーチャは完全に類似していると見なされ、95% および 99% コールドスポットであるフィーチャは完全に類似していると見なされます。たとえば、90% ホットスポットと 90% コールドスポットは、それより高い有意水準とは完全に類似していないと見なされます。このオプションでは、有意性が 95% 以上のすべてのフィーチャは同じである (統計的に有意である) と見なされ、有意性が 95% 未満のすべてのフィーチャは同じである (有意でない) と見なされます。
99% 有意のみ使用 - 99% ホット (またはコールド) スポットであるフィーチャに限り、互いに完全に類似していると見なされます。このオプションでは、有意性が 99% 未満のすべてのフィーチャは有意でないと見なされます。
ホットとコールドの関係を反転 - デフォルトのファジー加重が使用されますが、最初のホットスポット結果のホットスポットは、2 番目のホットスポット結果のコールドスポットに類似していると見なされます。たとえば、1 つの結果の 99% ホットスポットは、もう 1 つの結果の 99% コールドスポットと完全に類似していると見なされ、もう 1 つの結果の 95% および 90% コールドスポットと部分的に類似していると見なされます。
加重をテーブルから取得 - テーブルレイヤーの各フィールドで定義されている加重が使用されます。このテーブルは 入力加重テーブル パラメーターで指定し、CATEGORY1、CATEGORY2、WEIGHT の各フィールドが含まれている必要があります。ペアの有意水準カテゴリー (入力レイヤーの Gi_Bin フィールドの値) をカテゴリーフィールドに指定し、これらのカテゴリー間の類似度加重を加重フィールドに指定します。たとえば、[-3, -2, 0.6] という行は、類似度加重値 0.6 を 99% コールド対 95% コールドの組み合わせに割り当てます。テーブル内に組み合わせが存在しない場合、加重は 0 と見なされます。テーブルは加重マトリックスポップアウトからエクスポートできます。
カスタム加重 - カテゴリー類似度加重 パラメーターで指定されたカスタム類似度加重値が使用されます。

加重マトリックスポップアウト

カテゴリー類似度加重 パラメーターでは、加重マトリックスポップアウトを使用して加重を対話的に表示および編集することができます。 類似度加重方式 パラメーターの別のオプションを選択すると表示されている加重が更新されるため、各オプションに関連付けられている加重を確認して編集を行うことができます。ポップアウトを開くには、このパラメーターの横にある カスタム ボタンをクリックします。

カテゴリー類似度加重マトリックスポップアウト

有意水準の組み合わせ間のカスタム加重を割り当てるには、関連セルをクリックして 0 ～ 1 の間の加重値を入力し、Enter を押します。加重の対称性を維持するため、マトリックスの左下半分のセルだけを編集することができ、右上の同等のセルには加重がミラーリングされます。以下の図に、ホットとコールドの関係が反転した、有意水準の完全な一致を使用するカスタム加重の例を示します (たとえば、95% ホットは 95% コールドと完全に類似し、その他すべての有意水準とは完全に類似していないと見なされます):

ホットとコールドの関係が反転した、有意水準の完全な一致

加重を指定したら、OK をクリックするか、ポップアウトの外側をクリックして、加重を適用します。加重が変更された場合、類似度加重方式 パラメーターの値が カスタム加重 に変わります。 キャンセル または 閉じる ボタンをクリックすると、ポップアウトが閉じ、変更は適用されません。

エクスポート ボタンをクリックすると参照ダイアログボックスが開き、加重値をテーブルとして保存することで、加重をテーブルから取得 オプションで後から再使用できるようになります。後からカスタム加重を再使用するには、加重マトリックスポップアウトを使用して加重ファイルを作成し、後から比較する際にその加重テーブルを使用することをおすすめします。

距離類似度

カテゴリー類似度に加え、距離類似度では、フィーチャに同じ有意水準がなくても、近傍の他のフィーチャに同じ有意水準がある場合は、部分一致が許可されます。ホットスポット分析はローカル近傍を使用する空間分析手法であるため、各フィーチャの有意水準は、フィーチャだけでなく、フィーチャとそれに最も近い近傍フィーチャの値の特徴付けにもなります。この意味で、近傍フィーチャが類似している場合は、近傍の類似度に少し影響します。

近傍数 パラメーターには、比較で使用される追加の近傍フィーチャの数を指定し、近傍の順序に基づく距離加重を使用して部分的な類似度が導入されます。フィーチャの距離加重は 1 に等しくなり、近傍が追加されるごとに次の式を使用して加重が減分します:

\[ \text{Distance weight}=1-\frac{\text{Rank}} {\#\text{Neighbors} + 1} \]

この式におけるランクは近傍の順位であり、範囲は 0 (比較対象のフィーチャ) ～近傍数 (最も遠い近傍) となります。たとえば、4 つの近傍が存在する場合 (比較対象のフィーチャを含めて 5 つ)、次の 5 つの距離加重が使用されます: 5/5 (1)、4/5 (0.8)、3/5 (0.6)、2/5 (0.4)、1/5 (0.2)。

注意:

ポリゴンとラインの場合、重心間のユークリッド距離を使用して最も近い近傍の順序が求められます。出力空間参照が地理座標系である場合、重心間の弦距離が使用されます。各近傍が比較対象のフィーチャから異なる距離にある場合でも、すべてのフィーチャで同じ予想類似度値を維持するため、距離加重には (生の距離ではなく) 近傍の順序が使用されます。

ツールの出力

比較の結果は、ジオプロセシングメッセージ、出力フィーチャのグループレイヤー、およびチャートで返されます。

ジオプロセシングメッセージ

これらのメッセージには、ホットスポット結果間のグローバルな比較に関する情報が表示されます。これらのメッセージに表示される情報を次に示します:

類似度値 - ホットスポット結果レイヤー間の全体的な類似度を示す 0 ～ 1 の値。この値は、対応するフィーチャの任意のペアの有意水準カテゴリーが同じであるファジー確率として解釈できます。この値はすべてのローカル類似度値の平均に等しくなります。
予想類似度値 - 2 つのホットスポット結果レイヤーに関連性がない (依存性がない) という仮定の下で予想される類似度。類似度値が予想類似度値より大きい場合、2 つのマップ間に基になる依存性があります。この値は、ほとんどの場合が情報提供であり、Kappa 値の計算時に類似度をスケーリングする目的に使用されます。この値はローカル予想類似度値の平均に等しくなります。
空間 Fuzzy Kappa - 類似度値をその予想値でスケーリングして求められたホットスポット分析変数間の関連性の計測値。完全に関連性があるホットスポット結果の値は 1 になり、関連性がない (依存性がない) ホットスポット結果の値は 0 に近くなります。負の値は、ホットスポット分析変数間に負の関係があることを意味します。値の下限が設定されていない場合、実際に値が -3 より小さくなることはほとんどありません。 Kappa 値を解釈する際の厳密なルールはありませんが、0.8 より大きい値をほぼ完全な関連性、0.6 ～ 0.8 の値を強い関連性、0.4 ～ 0.6 の値を中程度の関連性、0.2 ～ 0.4 の値をある程度の関連性、0 ～ 0.2 の値をわずかな関連性、負の値を関連性なし (大きな負の値を負の関連性) として解釈することが通常は推奨されます。
有意でないフィーチャの数 - どちらのフィーチャも統計的に有意でない、ホットスポット有意水準ペアの数です。

注意:

有意でないフィーチャが除外された場合、それらは類似度値、予想類似度値、空間 Fuzzy Kappa の計算に含まれません。統計的に有意なフィーチャの条件付きの値であることを示すため、ラベルが 条件付き類似度値、条件付き予想類似度値、条件付き空間 Fuzzy Kappa、および 有意でないフィーチャの除外数 に変わります。
カテゴリー加重テーブルメッセージテーブルに、ホットスポット有意水準の各ペア間のカテゴリー加重が表示されます。たとえば、以下の図には、デフォルトのカテゴリー類似度加重方式によるカテゴリー加重テーブルが表示されています:
ホットスポット有意水準ペア (個数) メッセージテーブルには、各ホットスポット有意水準ペアの数が表示されます。たとえば、以下の図で、第 1 行 2 列目の値 440 は、440 個のフィーチャペアが 1 つ目のホットスポット結果では 99% コールド、2 つ目の結果では 95% コールドであったことを意味しています。余白にある行と列の合計は、各ホットスポット結果における各有意水準の総数を示しています。
ホットスポット有意水準ペア (%) メッセージテーブルには、個数テーブルと同じ情報が表示されますが、個数は行合計の割合に変換されます。たとえば、以下の図では、上の図で 440 と表示されていたセルには 5.57 (440/7904 = 0.0557) と表示されています。このテーブルは、2 つのホットスポット結果が、異なるタイミングで計測された同じ変数を表している場合に特に便利です。この場合には、ある計測から次の計測までの間にどのようにカテゴリーが推移したかを確認できます。たとえば、以下の図からは、1 つ目の結果で 99% コールドスポットであったフィーチャのうち、89.26% が 99% コールドスポットのままとなり、5.57% は 95% コールドスポットに変化したことなどがわかります。

出力フィーチャとグループレイヤー

出力フィーチャは入力ホットスポット結果レイヤーの交差であり、対応するフィーチャの各ペアのローカルな類似度と関連性を集計するフィールドが含まれます。このフィーチャクラスには次のフィールドが含まれます:

ホットスポット 1 入力値 (GI_BIN_1) - 1 つ目のホットスポット結果からのフィーチャの有意水準カテゴリーを表す整数。値の範囲は -3 (99% コールド) ～ 3 (99% ホット) です。フィールドタイプは long です。
ホットスポット 2 入力値 (GI_BIN_2) - 2 つ目のホットスポット結果からのフィーチャの有意水準カテゴリーを表す整数。フィールドタイプは long です。
ホットスポット 1 有意水準 (GI_SIG_1) - 1 つ目のホットスポット結果からのフィーチャの有意水準カテゴリー。可能な値: コールド 99%、コールド 95%、コールド 90%、有意でない、ホット 90%、ホット 95%、ホット 99%。フィールドタイプは text です。
ホットスポット 2 有意水準 (GI_SIG_2) - 2 つ目のホットスポット結果からのフィーチャの有意水準カテゴリー。フィールドタイプは text です。
類似度値 (SIM_VALUE) - フィーチャペアのローカル類似度値。値の範囲は 0 ～ 1 です。フィールドタイプは double です。
予想類似度値 (EXP_SIM) - フィーチャペアの予想類似度値。値の範囲は 0 ～ 1 です。フィールドタイプは double です。
空間 Fuzzy Kappa (KAPPA) - フィーチャペアの空間 Fuzzy Kappa 値。フィールドタイプは double です。
有意水準の組み合わせ (CAT_PAIR) - ホットスポット結果の有意水準カテゴリーの組み合わせ。このフィールドは以下の 2 つのチャートの基本として使用されています。フィールドタイプは text です。

このツールをマップ内で実行すると、3 つのレイヤーがグループレイヤーに追加され、類似度、関連性、および有意水準ペアを空間的に調査できるようになります。最初のレイヤーには、5 つの等間隔に分類された 0 ～ 1 の類似度値が表示され、最も類似していないエリアを強調するために、類似度値が小さくなるにつれて色が濃くなります。 2 番目のレイヤーには、等間隔と 6 つのクラスでシンボル表示された空間 Fuzzy Kappa 値が表示されます。 3 番目のレイヤーには、1 つの入力ホットスポット結果が統計的に有意なホットスポットであり、もう 1 つの入力ホットスポット結果が統計的に有意なコールドスポットであるフィーチャを特定できるように、それぞれの有意水準の組み合わせがカスタムシンボルで表示されます (カスタムシンボルでは、組み合わせの数を少なくするために、90%、95%、および 99% の有意性は区別されない)。デフォルトでは、1 つ目のレイヤーが有効、最後の 2 つのレイヤーが無効になっています。

比較結果のグループレイヤー

チャート

最後のレイヤーには、結果間の有意水準の組み合わせをさらに詳しく調査できるように、2 つのチャートが表示されます。これらのチャートには、メッセージ内のテーブルと同じ情報が表示されますが、わかりやすくするために、チャートが数と割合で色分けされています。また、チャートとマップの間にある選択項目を使用して、たとえば、1 つの結果では 99% ホットスポットであるが、もう 1 つの結果では 99% コールドスポットであるフィーチャをすべて選択し、最大許容差を示すこともできます。

ホットスポット有意水準ペアの個数ヒートチャートには、各有意水準の組み合わせの個数が表示され、個数が多いほど濃い青色で示されます。たとえば、下の図では、最大数のペアは 99% コールドから 99% コールド (左上)、有意でないから有意でない (真ん中)、99% ホットから 99% ホット (右下) です。

ホットスポット有意水準ペアの個数ヒートチャート

ホットスポット 1 水準カテゴリー内のホットスポット 2 水準の個数バーチャートでは、積み上げ水平バーによって、1 つ目の結果のカテゴリー内の 2 つ目のホットスポット結果の各有意水準カテゴリーの個数が示されます。たとえば、下の図では、99% のホットスポットとコールドスポットの大部分は、有意なホットスポットとコールドスポットでもあります (上下のバーがそれぞれほぼ青色と赤色になっている)。ただし、最初の結果の有意でないフィーチャの中には、2 つ目の結果のコールドスポットよりも一致度の高いホットスポットが存在します (真ん中のバーは青色よりも赤色が多い)。 2 つのホットスポット結果のレイヤーが異なる時間に測定された温度を表している場合、これは測定時間の間の分析範囲全体の温度上昇を示すことになります。

ホットスポット 1 水準カテゴリー内のホットスポット 2 水準の個数バーチャート

空間 Fuzzy Kappa

ホットスポット結果のレイヤー間の関連性は Kappa 値によって測定されます。Kappa 値は、2 つの結果に依存性がない場合に予想される類似度の度合と比較して結果の類似度を定量化します。特定のカテゴリーの数が多いこととカテゴリーの空間クラスタリングによって類似度値が大きくなる可能性があります。 Kappa 値によってカテゴリー頻度と空間クラスタリングが補正され、ホットスポット結果レイヤー間の基になる関連性が正確に計測されます。

Kappa 値は、次の式に従って、類似度値を予想類似度値によってリスケールすることによって計算されます:

\[ \kappa=\frac{\text{Similarity} - \text{Expected Similarity}} {1 - \text{Expected Similarity}} \]

ホットスポット結果レイヤー間に完全な類似度がある場合 (類似度値が 1 に等しい)、Kappa 値も 1 に等しくなり、完全な関連性があることが示されます。類似度値が予想類似度値と等しい場合、Kappa 値は 0 になり、結果は互いに関連性と依存性がないことが示されます。類似度値が予想類似度値未満である場合、Kappa 値は負の値になり、ホットスポット結果間に負の関連性があることが示されます。

Kappa 統計量は当初、Likert スケール (Cohen 1960) を使用してラスターの一貫性と信頼性をテストするために開発されました。最初のバージョンの Kappa 統計量はカテゴリーの頻度を補正するものでしたが (一部の Likert レーティングは他よりも一般的)、各レーティングは依存性がないものと見なされていました。 2000 年代初頭に拡張され、カテゴリーラスターを比較するためにカテゴリー類似度と距離類似度が採用されました (Hagen 2003, 235-249) (Hagen-Zanker, Straatman, and Uljee 2005, 769-785) (Hagen-Zanker 2009, 61-73) (Dou et. al. 2007, 726-734)。ただし、これらの拡張は依然として、カテゴリーは空間的にクラスター化しないことを前提としていましたが、このことはホットスポット分析結果やその他多くの空間カテゴリー変数には当てはまりません。 ホットスポット分析の比較 ツールは Kappa 統計量を、各ホットスポット結果内の有意水準カテゴリーのクラスタリング (自己相関) を考慮した空間 Fuzzy Kappa 統計量に拡張しています。

類似度値の計算

ホットスポット分析結果内の対応するフィーチャのペアごとにローカル類似度値が算出されます。グローバル類似度値はすべてのローカル類似度値の平均です。

対応するフィーチャそれぞれが同じ有意水準カテゴリー (または類似度加重によって組み合わされているカテゴリ) を持つ場合、フィーチャペアの類似度値は 1 に等しくなります。 1 つ目の結果のすべての近傍の有意水準カテゴリーが 2 つ目の結果のすべての近傍と完全に類似度がない場合 (たとえば、1 つ目の結果のすべてのホットスポットと 2 つ目の結果のすべてのコールドスポット)、類似度値は 0 に等しくなります。その他すべての状況では、類似度値は 0 ～ 1 の範囲になります。

フィーチャの各ペアについて、2 つの方向性類似度値を計算して 2 つのうちの小さい方が類似度値になります。 1 つ目の方向性類似度は 1 つ目の結果から 2 つ目の結果への類似性であり、2 つ目の方向性類似度は 2 つ目の結果から 1 つ目の結果への類似度です。個々の計算では、一方の結果のフィーチャのカテゴリーを、もう一方の結果の対応するフィーチャおよびその各近傍と比較する必要があります。対応するフィーチャと各近傍について、カテゴリー加重に距離加重が乗算され、最大の結果が方向性類似度となります。

たとえば、以下の図は 2 つのホットスポット結果 A および B を示しています。 A と B にはそれぞれ 3 つのフィーチャがあります: ホットスポット (赤色)、コールドスポット (青色)、有意でないフィーチャ (ライトグレー)。最大ポリゴンは 1 つ目のフィーチャペア、最小ポリゴンは 2 つ目のフィーチャペア、中間ポリゴンは 3 つ目のフィーチャペアです。ポリゴン間の近接性を容易に把握できるように、各ポリゴンの重心が示されています。1 つ目のポリゴンは 3 つ目のポリゴンよりも 2 つ目のポリゴンにやや近接しています。

類似度計算の例

この例では、対応するカテゴリー間 (ホット対ホット、コールド対コールド、有意でない対有意でない) のカテゴリー加重を 1、ホットスポットとコールドスポット間の加重を 0、有意でないフィーチャの加重はホットスポットとコールドスポットの両方で 1/2 であるものとします。

次の表に、結果 A から結果 B への方向性類似度のカテゴリー加重、距離加重、類似度を示します。最後の列の類似度値は、距離加重とカテゴリー加重を乗算することによって計算されています:


組み合わせ	距離加重	カテゴリー加重	類似度
A₁ から B₁	1 (対応するフィーチャ)	0 (コールドからホット)	0
A₁ から B₂	2/3 (1 つ目の近傍)	1/2 (コールドから有意でない)	1/3 = 0.33
A₁ から B₃	1/3 (2 つ目の近傍)	1 (コールドからコールド)	1/3 = 0.33

結果 A から結果 B への最大の類似度は 0.33 であり、これは 2 つの近傍の組み合わせで生じます。次の表に、結果 B から結果 A への方向性類似度を示します。


組み合わせ	距離加重	カテゴリー加重	類似度
B₁ から A₁	1 (対応するフィーチャ)	0 (ホットからコールド)	0
B₁ から A₂	2/3 (1 つ目の近傍)	1 (ホットからホット)	2/3 = 0.67
B₁ から A₃	1/3 (2 つ目の近傍)	1/2 (ホットから有意でない)	1/6 = 0.17

結果 B から結果 A への最大の類似度は 0.67 です。

フィーチャペアのローカル類似度値は 2 つの方向性類似度 (A から B と B から A) のうち小さい方の値であるため、1 つ目のフィーチャペアの類似度値は 0.33 です。同じ手順に従って 2 つ目と 3 つ目のフィーチャペアの類似度値も計算し、この例ではどちらの類似度値も 0.5 に等しくなります。グローバル類似度値はすべてのフィーチャペアの類似度値の平均であり、この例では、グローバル類似度値は 4/9 = 0.44 です。

有意でないフィーチャが除外された場合、その類似度値は計算されず、それらはグローバル類似度値の平均には含まれませんが、除外されないフィーチャの類似度値を計算する際には引き続き近傍として使用されます。

注意:

この例では、組み合わせの数を減らすため、フィーチャペアと有意水準カテゴリーがそれぞれ 3 つしかないホットスポット結果が使用されています。ただし、このツールを使用するには少なくとも 20 個のフィーチャペアが必要であり、7 つすべての有意水準カテゴリー間にカテゴリ加重を割り当てる必要があります。

予想類似度値の計算

各フィーチャについて、予想類似度値の計算では類似度値と同じ手順が使用されますが、1 つ目の結果のフィーチャは、対応するフィーチャではなく、2 つ目の結果のランダムなフィーチャとペアになります。

ランダムな近傍と比較することで、予想値ではカテゴリーの頻度 (より一般的なカテゴリーがランダムに選択される可能性がより高くなる) と近傍内のカテゴリークラスタリング (ランダムな近傍には有意水準カテゴリーが類似するフィーチャのクラスターが含まれる可能性が高くなる) が考慮されます。各ランダムペアからの類似度値は、2 つのホットスポット結果に依存性がないという仮定の下で推定される類似度値です。フィーチャの予想類似度値を計算するには、1 つ目の結果の各フィーチャを多数のランダムな近傍とペアにし、ランダム類似度値の平均を求めます。 順列の数 パラメーターで、各フィーチャのランダムペアの数を指定します。順列の数が大きくなると、ツールの実行時間が長くなり、予想類似度値と Kappa 値の精度が高くなります。

グローバル予想類似度値は、すべてのフィーチャペアの予想類似度値の平均です。有意でないフィーチャが除外された場合、除外されたフィーチャがランダムな近傍として選択されることはなくなり、その予想類似度値は計算されませんが、ランダムに選択されたフィーチャの近傍として引き続き使用されます。

注意:

グローバル予想類似度値は、2 つの結果の間に依存性がないという仮定の下で推定される、バイアスのない真のグローバル予想値です。ただし、重複する近傍間の相関関係により、グローバル予想値の分散はグローバル類似度値の分散と同じにはなりません。つまり、グローバル類似度値の従来のランクに基づいた順列 p 値はこの手順には有効ではありません。有意性検定を支援するための手法の強化については、まだ盛んに研究が行われています。

ベストプラクティスおよび制限

このツールを使用する場合、以下を考慮してください:

比較を実行することで回答したい質問に基づいて、カテゴリー類似度加重を選択し、有意でないフィーチャを除外するかどうかを決定する必要があります。ホットスポット結果間の類似度または関連性を最大化または最小化するためだけに値やオプションを選択してはなりません。たとえば、カテゴリー類似度加重を使用して 99% ホットカテゴリーと 90% コールドカテゴリーを組み合わせることができますが、一方の結果の 99% ホットスポットがもう一方の結果の 90% コールドスポットと類似すると考えられる何らかの理由がない限り、比較によって質問への意味のある回答は得られません。同様に、有意でないフィーチャを除外するかどうかは、有意でないエリアが調査対象のエリアであるかどうかによって判断する必要があります。
いずれかの入力ホットスポット結果レイヤーに重複するポリゴンが含まれている場合、重複するポリゴンの交差部分から新しいフィーチャが作成されます。これにより、同一の有意水準カテゴリーを持つ結果レイヤーでも類似度値が 1 と等しくならないことがあります。 XY 許容値環境を使用して、ジオコーディングエラーなど、意図しない重複を取り除くことができます。出力フィーチャのフィーチャ数を確認して、予想した数より多くの交差部分がないか調べることをおすすめします。
2 つのホットスポット結果がサイズの異なるポリゴンである場合、交差部分で大きなポリゴンが多数の小さなポリゴンに分割されます。これによって有意水準カテゴリーの個数が変わり、類似度と関連性に影響が生じます。このツールを使用するには、フィーチャの交差部分が 20 か所以上必要となります。
入力ホットスポット結果の順序を変更しても、類似度値は変化しませんが、順列のランダム性によって、予想される類似度と Kappa 値はわずかに変化します。メッセージテーブルとチャートの軸も逆になるため、場合によっては解釈しやすくなります。メッセージとチャートには、1 つ目の結果のカテゴリー内の 2 つ目のホットスポット結果の有意水準カテゴリーの個数が表示されるので、代わりに、入力レイヤーの順序を逆にして、2 つ目の結果のカテゴリー内の 1 つ目の結果のカテゴリーを表示することもできます。

参考情報

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ホット スポット分析の比較の仕組み